ケプラーの面積速度一定から角運動量保存則？

質問

ケプラーの面積速度一定から角運動量保存則は求められるか

　アイススケートでダブルアクセルやらなんやらでスピンするときには角運動量の保存を自分の体で体験できます．
　しかし楕円軌道のリンクに沿ってスケートするとき、角運動量の保存の作用を感じた事がありません．
　ケプラーの楕円軌道を惑星が運動するときに角運動量の保存は果たして起きるでしょうか?
アイススケートをしていると走る足を止めて、そのまま直進に滑るのでするので、慣性モーメントが自分の体でもって体験できます．
しかし、アイススケートでリンクのカーブを回っている時、走る足を止めれば、そのままカーブの接線方向に直進します．まだ慣性モーメントが体験できます．
　でもアイススケートでリンクのカーブを回っている時、角運動量の保存は体験できたことがありません．
　アイススケートでスピンするときには角運動量の保存を自分の体で体験できます．
　とするとケプラーの面積速度一定の法則は角運動量の保存
L＝ｍｒｖsinθ＝const.
に式が似ているが、似ているだけで全く別物なのではないでしょうか?

回答No.1

BASKETMM

ケプラーの法則とニュートンの運動方程式 f = maは同等ですね。そして惑星は楕円軌道を描いているときに、太陽から引力 [ f ] を受けてるのです。
貴方がスケートリンクで、楕円軌道を描いているときには、その楕円軌道の焦点の方向に力 [ f ] が働いています。貴方の足がこの力を出しているはずです。この力を体感できるかどうかは分かりませんが。適切な機器があれば、方向も大きさも正確に計測することが出来るでしょう。
65年前に習った物理学の知識です。間違っているでしょうか。 リケロ（理系老人）より。

お礼

ご回答ありがとう
＞ケプラーの法則とニュートンの運動方程式 f = maは同等ですね。

見逃した部分が残っています．それを気づいて下さい．
そういう設問です．

＞惑星は楕円軌道を描いているときに、太陽から引力 [ f ] を・・スケートリンクで、楕円軌道を描いているときには、その楕円軌道の焦点の方向に力 [ f ] が・・足がこの力を・・機器があれば、方向も大きさも正確に計測する・・

足で実感できます．足で力の向きも力の大きさも実感できます．
惑星でもスケートでも、軌道を辿るには太陽に向くべき向心力ですが、遠日点で太陽に向く向心力をスケートリンクで試したら遠日点側のコーナーで楕円軌道を外れスケート失敗です．
物理は観察と実験が記憶よりも原理よりも重要です．

超長楕円軌道を条件としましょう．ハレー彗星なんかだとします．
水ふうせんに長いゴムを首に結んで振り回すとアーラ不思議、風船が超長楕円軌道の彗星に早変わり。
　でもゴムの一方は焦点上の太陽、反対の端はふうせんの首、ゴムの線分はふうせんの重心を貫く直線に重なっている。
ゴムの端が焦点としたらこの楕円には焦点が一つしかない。
ゴムの長さをｘとする。
　焦点が一つしかないから、もしかすると楕円ではないのかもしれない。
　Q1　楕円か楕円でないのか？

もしゴム端ではないもう一つの焦点があるのなら、その長さをｙとして、
楕円ならば必ず
ｘ＋ｙ＝C
だ。
ゴムの長さｘは変数だからｘだけでは定数Cを満たさず、変数ｙはヨーヨ－に準備されていない．したがってまずほぼ楕円ではない．
名人ならパントマイムで壁があるように、階段があるように見せかけられるから、楕円があるように見せかけられる名人がいるかもしれないい．
しかし、この式はゴムひもだけではよほどの技術でも満たせない。
けん玉名人が最高難度100回やって100回失敗なしでも、ゴム紐では満たせない．

Q1の答えは楕円ではない。
楕円を満たすには棒に２焦点を固定して、焦点のそれぞれを端にした長さCの伸びないひもをゴムの代わりにして、風船にじかには結ばず、風船とは風船に作った滑車に通すことで風船とつなげる．
糸がたるまないようにしながら、棒をゆすってヨーヨーに勢いをつけ、棒を止めた後、ヨーヨーを固定した棒の周りに１周回させれば楕円になる。

とすると惑星の公転にはなにかが、不足分の棒と糸を補っている．
なんだろうか？

ヨーヨーの公転面でゴムが一番伸びたとき、ゴムの力が切れるまで伸びきったらどうなりますか。ヨーヨーは戻ってこないし、ゴムが切れたらヨーヨーはすっとんでますね。

万有引力は距離の二乗に反比例ですから、遠日点の惑星はみな切れかけたゴムと同じです。
弱い力ではもう軌道には戻れないはずです。
なんで軌道にまた戻れるのでしょう。

だから軌道に戻る別の力、別の構造が作用している疑いがあります。

ここでケプラーの公転軌道は楕円を描くという法則を調べてみましょう。
楕円を描くとは論理が不十分な天下りの、まるで天命ですね。
宇宙には固定の２焦点も、伸びない糸もないのです。
楕円軌道を満たすには２焦点と全長長さの変わらぬ糸が必要です。
軌道に戻る別の力、別の構造が作用している疑いは、まだ晴れません。
疑いは深まる一方です。

ここでケプラーの公転軌道は楕円を描くと面積速度一定の法則を調べてみましょう。
数式にすると
L＝ｒｖsinθ＝const.
だそうです。
両辺にｍを乗積すると
ｍL＝ｍｒｖsinθ＝ｍ・c.
となって
の形はなんやら角運動量保存と似ています。
でもまってくださいよ。
なんか変だ。
角運動量保存とは回転運動をし続ける慣性のことだよ。
スケートとゴムの切れたヨーヨーにそれぞれ実物に回転運動が続かないことを実体験している。
だったら遠日点の惑星にまだ回転軌道をたどる運動が続くなら、違うなにかが
ｍｒｖsinθ
となるように作用を補っていることになります（A）。

Q１でヨーヨーは楕円軌道になれないと答えました。
太陽の万有引力はゴムひものような比例復元力と異なり遠くなるとひどく弱まるのです。
ならばケプラーの法則の楕円軌道のために、公転軌道が楕円軌道になるように足りない作用を補う構造が宇宙にはあるということです（B）。

Ｑ７　(Ａ)と(Ｂ)を満足するにはどんな構造が必要でしょう。
それは楕円軌道を維持する復元力です。
復元力の特徴は例えば例を挙げれば、起き上がりこぼしの姿勢を立たせる力です。
復元力は船の浮力と重心のバランスに船が姿勢を鉛直に保つようにも働きます。
　その力のありようをポテンシャルの傾きで表すとしたら、変分原理と姿が一緒です。
どうやら変分原理はケプラーの法則を成立させる陰の立役者に違いありません。

実はこの復元力を持った構造について、答えを出し私は知っています。