13で割り切れることを

質問

a(n)=(-239850 n^2-909480 n+125 3^(n+8)+2^(4 n+17)-951197)/27000

(n∈N) は　13で割り切れることを　数学的帰納法で証明願います。

　　　　　また　多様な発想で証明願います；

回答No.1

hikkyhokky

あまりスマートな解でなくて、お恥ずかしいですが。

b(n)=a(n+1)-a(n)
c(n)=b(n+1)-b(n)
以下同様に、差分をどんどん取っていくと、
f(n)=e(n+1)-e(n)
これを計算してみるとf(n)=36 (3^(3 + n) + 25 16^(3 + n))になり、13の倍数になります。
f(0)=3687372=13*283644で13の倍数なので、以下それに13の倍数を加えた数は、13の倍数になります。故に、f(n)は全て13の倍数。
e(n)も同様に全て13の倍数。同様にさかのぼると、a(n)は全て13の倍数になります。