多様体を大局的座標系に埋め込まずに点の同一性

質問

多様体やリーマン幾何学を少しだけ勉強していて気になったことがあります．
多様体は，多様体を調べるために多様体を埋め込める大局的座標系に埋め込めこんでしまえば，（埋め込めない場合は考えないとして），多様体上を動いている点が，同じ位置にいるかどうかを調べられると思います．
例えば，2次元球面は，初め同じ場所にいた2つの点が，自由に球面上を移動していったときに，球面上を周回したりしなかったりした後，最終的に2つの点が同じ位置にいるかどうかを調べるためには，2次元球面を3次元デカルト座標系に埋め込んでしまって，2点の3次元デカルト座標を調べることで一致が調べられると思います．
しかしながら，多様体は，局所座標系の集まりで記述されているため，大局的座標系を持ち出すのは筋が悪いと思います．したがって，大局的座標系に埋め込まずに2点の一致を調べることができるのではないかという考えが生まれます．しかし，それをどうやって調べるのでしょうか？
2次元球面の場合は，埋め込まなくてもある点を基準にした2次元球面座標系（局所座標系）が2次元球面のすべてを覆いつくすことができますが，この場合球面上を一周してしまった場合は，本当は同一の点であるのに，2次元球面座標系では(1週回れば2π加算されるなどして)座標の値では一致しないでしょう．ましてや，局所座標系が多様体を覆いつくさない場合もあり，複数の局所座標系を移り変わりしていった場合など，点の位置の同一性など，（私の今の見識では），調べようにないと思います．
どなたか，この考えに意見がございましたら，ご回答いただけないでしょうか．宜しくお願い致します．

回答No.1

eatern27b

>この場合球面上を一周してしまった場合は，本当は同一の点であるのに，2次元球面座標系では(1週回れば2π加算されるなどして)座標の値では一致しないでしょう．
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93
にある定義を念頭に置くと、
同一の点に対して異なる座標を与えてしまうのなら、φは同相写像ではないので(そもそも写像ですらない）ので、局所座標系とは呼びません。

>複数の局所座標系を移り変わりしていった場合など
いずれか１つの局所座標系で座標が一致しているかを調べれば十分です。

ちなみに
>ある点を基準にした2次元球面座標系（局所座標系）が2次元球面のすべてを覆いつくすことができますが
「１つの局所座標系で球面を覆い尽くせる」と仰っているのなら、そのような事はありません。