スペクトル分解とは何なのか？

質問

大学初級の線形代数を学んでいます。
スペクトル分解とは何なのでしょうか？
色々とググって見つけたのですが、
・スペクトル分解とは”正方行列”に対応する線形変換ですか？つまり正方行列専門の線形変換？
・行列の固有値を係数とする射影の和ですか？正方行列であるなし関係がない？

教えてください、よろしくお願いします！！

回答No.2

jcpmutura · ベストアンサー

正規行列Aは固有値λ_kの固有空間への射影行列P_kによって,
A=Σ_{k=1～r}(λ_k)(P_k)
表すことができる
単位行列
(1,0)
(0,1)
=
射影行列
(1,0)
(0,0)
+
射影行列
(0,0)
(0,1)

例)
行列
(1.,2)
(-1,4)
の固有値は2,3で
(1,-1)(1.,2.)(2,1)=(2,0)
(-1,2)(-1,4)(1,1)...(0,3)

(2,0)
(0,3)
=↓対角行列のスペクトル分解
2*
(1,0)
(0,0)
+
3*
(0,0)
(0,1)

(1,-1)(1.,2.)(2,1)
(-1,2)(-1,4)(1,1)

(1.,2)
(-1,4)
=
2*
(2,1)(1,0)(1,-1)
(1,1)(0,0)(-1,2)
+
3*
(2,1)(0,0)(1,-1)
(1,1)(0,1)(-1,2)
=↓スペクトル分解
2*
(2,-2)
(1,-1)
+
3*
(-1,2)
(-1,2)

対角行列の射影行列に対角化行列の逆行列をかける事によって元の行列の射影行列が求まる

お礼

ありがとうございます！わかりました！！わかりやすかったです！！

回答No.1

jcpmutura

正方行列の固有値を係数とする射影行列の和です

正規行列Aは固有値λ_kの固有空間への射影行列P_kによって,
A=Σ_{k=1～r}(λ_k)(P_k)
表すことができる

例)
行列
(1.,2)
(-1,4)
の固有値は2,3で
(1,-1)(1.,2.)(2,1)=(2,0)
(-1,2)(-1,4)(1,1)...(0,3)

(2,0)
(0,3)
=↓スペクトル分解
2(1,0)+3(0,0)
...(0,0)...(0,1)

(1.,2)
(-1,4)
=↓スペクトル分解
2(2,-2)+3(-1,2)
...(1,-1).....(-1,2)

補足

ありがとうございます！とてもわかりやすいです！射影行列はどのように求められていますか？