指数関数の問題です

質問

f(x)=4^x -a×2^(x+1) +2a (-2≦x≦3)とする
2^x=tとおくと(1/4≦t≦8)となる
f(x)をtを用いて表すとf(x)=t^2-2at+2a ・・・(1)となる
問 f(x)=0となるx(-2≦x≦3)が存在するようなaの値の範囲を求めよ

という問題で(1)を定数分離して
放物線Y=t^2 (1/4≦t≦8)・・・(2)と直線Y=2a(t-1)・・・(3)
の２式から(2)と(3)が接する場合と(3)が(2)上の点(-1/4,1/16)を通る時の二つの場合分けを用いて求めたのですが、他に解法はありますか。

よろしくお願いします。

回答No.3

staratras

No.2です。誤記を訂正します。
ここでg(t)=t^2/2(t-1) とおいてそのグラフを描くと下のようになり、
誤：t=1 とy=1/2t-1/2が漸近線となる。
正：t=1 とy=1/2t＋1/2が漸近線となる。

回答No.2

staratras

>f(x)=4^x -a×2^(x+1) +2a (-2≦x≦3)とする
2^x=tとおくと(1/4≦t≦8)となる
f(x)をtを用いて表すとf(x)=t^2-2at+2a ・・・(1)となる
問 f(x)=0となるx(-2≦x≦3)が存在するようなaの値の範囲を求めよ

f(x)=4^x -a×2^(x+1) +2a 　においてx=0とすると
f(0)=1-2a+2a=1≠0　で題意を満たさないからx≠0　つまりt≠1の範囲で考えてよい。
このときf(x)=0より、t^2-2at+2a=0 だからa=t^2/2(t-1) となる。
ここでg(t)=t^2/2(t-1) とおいてそのグラフを描くと下のようになり、
t=1 とy=1/2t-1/2が漸近線となる。
また増減を考えると、g'(t)=t(t-2)/2(t-1)^2より、
t<0で増加、t=0で極大値0、0<t<2で減少（t=1では定義されず不連続）
t=2で極小値2(点Q）、t>2で増加　となる。

1/4≦t≦8となるtの値が存在するのは、g(1/4)=-1/24 (点P）だから、
a≦-1/24　または　a≧2である。

回答No.1

jcpmutura

f(x)=4^x-a×2^(x+1)+2a(-2≦x≦3)とする
2^x=tとおくと(1/4≦t≦8)となる
f(x)をtを用いて表すとf(x)=t^2-2at+2a…(1)となる

g(t)=t^2-2at+2a(1/4≦t≦8)
とすると
g(t)=(t-a)^2-a^2+2a≧-a^2+2a=a(2-a)=g(a)
だから
t=aの時f(x)は最小値g(a)=a(2-a)となる
g(a)=a(2-a)>0を仮定すると
g(t)≧g(a)=a(2-a)>0
だからg(t)=0となるtは存在しないから
g(a)=a(2-a)≦0
-g(a)=a(a-2)≧0
でなければならないから
a≦0.又は.a≧2

a≦0の時
g(8)=64-14a≧64>0
だから
g(1/4)=1/16+3a/2≦0
a≦-1/24…(4)
の時
g(1/4)≦0<g(8)
だから
1/4≦t<8の間にg(t)=0となるtが存在する

a≧2の時…(5)
g(1/4)=1/16+3a/2>0
a≦8の時
g(1/4)>0≧g(a)
だから
1/4<t≦aにg(t)=0となるtが存在する
a>8の時
g(8)=64-14a≦-54<0<g(1/4)
だから
1/4<t<8にg(t)=0となるtが存在する

(4),(5)から
a≦-1/24.又は.a≧2