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指数関数の問題です
f(x)=4^x -a×2^(x+1) +2a (-2≦x≦3)とする 2^x=tとおくと(1/4≦t≦8)となる f(x)をtを用いて表すとf(x)=t^2-2at+2a ・・・(1)となる 問 f(x)=0となるx(-2≦x≦3)が存在するようなaの値の範囲を求めよ という問題で(1)を定数分離して 放物線Y=t^2 (1/4≦t≦8)・・・(2)と直線Y=2a(t-1)・・・(3) の2式から(2)と(3)が接する場合と(3)が(2)上の点(-1/4,1/16)を通る時の二つの場合分けを用いて求めたのですが、他に解法はありますか。 よろしくお願いします。
- yuki0114
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- staratras
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No.2です。誤記を訂正します。 ここでg(t)=t^2/2(t-1) とおいてそのグラフを描くと下のようになり、 誤:t=1 とy=1/2t-1/2が漸近線となる。 正:t=1 とy=1/2t+1/2が漸近線となる。
- staratras
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>f(x)=4^x -a×2^(x+1) +2a (-2≦x≦3)とする 2^x=tとおくと(1/4≦t≦8)となる f(x)をtを用いて表すとf(x)=t^2-2at+2a ・・・(1)となる 問 f(x)=0となるx(-2≦x≦3)が存在するようなaの値の範囲を求めよ f(x)=4^x -a×2^(x+1) +2a においてx=0とすると f(0)=1-2a+2a=1≠0 で題意を満たさないからx≠0 つまりt≠1の範囲で考えてよい。 このときf(x)=0より、t^2-2at+2a=0 だからa=t^2/2(t-1) となる。 ここでg(t)=t^2/2(t-1) とおいてそのグラフを描くと下のようになり、 t=1 とy=1/2t-1/2が漸近線となる。 また増減を考えると、g'(t)=t(t-2)/2(t-1)^2より、 t<0で増加、t=0で極大値0、0<t<2で減少(t=1では定義されず不連続) t=2で極小値2(点Q)、t>2で増加 となる。 1/4≦t≦8となるtの値が存在するのは、g(1/4)=-1/24 (点P)だから、 a≦-1/24 または a≧2である。
- jcpmutura
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f(x)=4^x-a×2^(x+1)+2a(-2≦x≦3)とする 2^x=tとおくと(1/4≦t≦8)となる f(x)をtを用いて表すとf(x)=t^2-2at+2a…(1)となる g(t)=t^2-2at+2a(1/4≦t≦8) とすると g(t)=(t-a)^2-a^2+2a≧-a^2+2a=a(2-a)=g(a) だから t=aの時f(x)は最小値g(a)=a(2-a)となる g(a)=a(2-a)>0を仮定すると g(t)≧g(a)=a(2-a)>0 だからg(t)=0となるtは存在しないから g(a)=a(2-a)≦0 -g(a)=a(a-2)≧0 でなければならないから a≦0.又は.a≧2 a≦0の時 g(8)=64-14a≧64>0 だから g(1/4)=1/16+3a/2≦0 a≦-1/24…(4) の時 g(1/4)≦0<g(8) だから 1/4≦t<8の間にg(t)=0となるtが存在する a≧2の時…(5) g(1/4)=1/16+3a/2>0 a≦8の時 g(1/4)>0≧g(a) だから 1/4<t≦aにg(t)=0となるtが存在する a>8の時 g(8)=64-14a≦-54<0<g(1/4) だから 1/4<t<8にg(t)=0となるtが存在する (4),(5)から a≦-1/24.又は.a≧2
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