板ばねのたわみ量と最大応力の計算

質問

＜やりたいこと＞
下図のような直線と円弧からなる板ばねにおいて、
上の直線部 L1 と下の直線部 L2 の長さが異なる(L1<L2)場合の
全たわみと最大応力を計算したい。

■
■ ／↓P
■( ──────中心線
■ ＼
■ ＼↑P(反力)
■■■■■■←壁

＜参考＞
上の直線部と下の直線部の長さが同じ場合は上下対象となるので、
荷重Pによって上半分の直線部と円弧部に発生するモーメントM1,M2から
弾性エネルギーU1,U2を算出し、U1とU2を足し合わせPで偏微分したものを
2倍(上下対象)して全たわみを求めました。
最大応力は図の円弧の左端となるので、
円弧部のモーメントM2を断面係数で除して求めました。

＜質問事項＞
上の直線部 L1 と下の直線部 L2 の長さが異なる(L1<L2)場合、
?たわみの計算は以下の考え方であってますでしょうか。
中心線と上の直線部とのなす角(=中心線と下の直線部となす角)をα
円弧部の半径をr、荷重点(反力点)をx=0,円弧部と直線部の接点をθ=0とすると

上半分は、荷重Pによって直線部と円弧部に発生するモーメントM1,M2を求め、
M1=Px cosα (※0≦x≦L1)
M2=P(L1+r sinθ)cosα (※0≦θ≦β)

下半分は、反力Pによって直線部と円弧部に発生するモーメントM3,M4を求め、
M1=Px cosα (※0≦x≦L2)
M2=P(L1+r sinθ)cosα (※0≦θ≦β)

M1,M2,M3,M4から弾性エネルギーU1,U2,U3,U4を算出し、
全て足し合わせてPで偏微分すれば、全たわみ量を算出できる。

?最大応力はどう計算すればよいでしょうか？(どこが最大になる？)

<以下修正します>
下半分は、反力Pによって直線部と円弧部に発生するモーメントM3,M4を求め、
M1=Px cosα (※0≦x≦L2)
M2=P(L2+r sinθ)cosα (※0≦θ≦β)
~~

<以下修正します>
下半分は、反力Pによって直線部と円弧部に発生するモーメントM3,M4を求め、
M3=Px cosα (※0≦x≦L2)
~~
M4=P(L2+r sinθ)cosα (※0≦θ≦β)
~~

<追記>
質問の意図がわかりにくいかもしれませんので、以下のように書き直します
?の質問
全たわみを求めるには、以下の考え方で良いか？
1. 板ばねを円弧部の中心から上半分と下半分に分け、
円弧部が直線部と繋がっていない方を固定端とみなした板ばねを考える
2. 上半分と下半分の板ばねについてそれぞれ荷重Pによるモーメントから
弾性エネルギーを求め、カスチリアーノの定理より変位を求める
3. 2で求めた上半分と下半分の板ばねの変位の合計が全たわみとなる

?の質問
最大応力発生部と最大応力値について、以下の考え方で良いか？
1. 最大応力発生部
荷重P(または反力P)の荷重作用線に垂直で最も遠い場所、
つまり、図の円弧部の左端となる。
2. 最大応力値:σmax
σmax=M/Z (M:曲げモーメント、Z:断面係数)
ここで使用する曲げモーメントはM2とM4のどちらか？
上半分の荷重Pによる固定端での曲げモーメント:M2=P(L1 + r sinθ)cosα
下半分の反力Pによる固定端での曲げモーメント:M4=P(L2 + r sinθ)cosα

回答No.2

noname#230359

薄板ばねの計算方法は　日本ばね工業会（JSMA)が解説しています。一例を
下記サイトで紹介しています。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　L
基本は板ばねに生じる弾性エネルギーが　U＝∫　　M^2 dｘ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　0
曲げモーメント　M＝Pｘ　のとき
たわみ　δ＝∂U/∂P＝（1/EI)∫ M^2 dｘ＝（P/EI)∫ｘ^2 dｘ
　　　　　　　　　　　〔積分範囲　0→L〕
となります。この場合 Λ＝∫ｘ^2 dｘが二次モーメントになり，ｘ＝Lのとき
薄板ばねの形状係数は　Λ＝L^3/3　となり?　に一致します。

曲げモーメント　M＝PL　のとき
Λ＝∫ PL^2 dｘ＝s･L^2　〔積分範囲　0→s〕となり，?に一致します。

他の場合も同様に計算できます。

余談ですが，提示の条件ではPとその反力でモーメントが発生しばねが回転
してしまいます。端部で回転を止めていると考えるのですか？

記号の構成がよくわからないので，勘違いかもしれませんが
半径ｒ部の中心角を2βとして，曲げモーメントは次式になりませんか？
M3=P{ L1･cosα+r(1－sinθ)} (※0≦θ≦β)
M4=P{ L2･cosα+r(1－sin(θ－β)} (※β≦θ≦2β)

3行目訂正します。
曲げモーメント　M＝Pｘ　のとき
たわみ　δ＝∂U/∂P＝∂/∂P{(1/2EI)∫ M^2 dｘ}
　　　　　＝(1/EI)∫ M･∂M/∂P･dｘ
　　　　　＝（P/EI)∫ｘ^2 dｘ＝（P/EI)･Λ　〔積分範囲　0→L〕
8行目補足します。
たわみ　δ＝∂U/∂P＝{(1/EI)∫ M･∂M/∂P･dｘ}＝（P/EI)･Λ
曲げモーメントM＝PL　のとき
Λ＝∫ M･∂M/∂P･dｘ/P＝L^2∫dｘ＝s･L^2　〔積分範囲　0→s〕となり，
?に一致します。

追記項目ですが，BC間の荷重Pによるモーメントは
Mcb=P・L1・cosα+P・r・sinθ・cosα (0≦θ≦β)
は近似式として成り立つかも知れませんが，厳密には
Mcb=P・L1・cosα+P・r{cos(β－θ)－cosβ}　(0≦θ≦β)
ではないでしょうか？

?を同じようにあてはめると、曲げモーメントM=Px･cosα
(0≦x≦ｓ，α：傾斜角)
Λ＝∫ M･∂M/∂P･dｘ/P＝∫x^2･(cosα)^2 dｘ
　＝ｓ^3/3･(cosα)^2＝ｓ･L^2/3　　　∵　(ｓ･cosα)^2＝L^2
となります。

提示の問題は?と?を重ね合わせて計算できます。
すなわち
Λ＝Λ1＋Λ2＋Λ3＝s1･L1^2＋CR･R^3＋s2･L2^2
(提示問題における記号の場合　s1→L1，L1→L1･cosα，
　s2→L2，L2→L2･cosα）
曲げ応力　σ＝P･Lmax／Z　　ばね定数　ｋ＝EI／Λ

上式より　Lmaxの位置において最大応力が発生することがわかります。

そのとおりだと思います。ただし，荷重Ｐとその反力による偶力が発生する
と思いますので，厳密にはこれにつりあう力もばねへの作用力として考慮す
べきだと思います(ばね体の外力のつり合いが成り立つこと）。

参考URL：

https://www.maruho-htj.co.jp/planmanual/usuita-saiku.html

お礼

ありがとうございます。
上記サイトを閲覧しましたが、二次のモーメントの意味がよく分かりません。
板ばね設計の定石といわれているモーメントの導出と同じことを行っているような感じもしますが･･･??は導出できましたが?～?の考え方が不明でした。
考え方をご存知でしたら是非、ご教授下さい。
私が追記した?の質問は、当サイトを読む限り有効に思えるのですが、その解釈で間違っていないでしょうか？

また、応力についてですが、荷重作用線より最も遠い場所と記載されています。
この荷重作用線というのは反力も含めて考えるのでしょうか？
追記した?の質問のように、円弧左端部で発生する応力を計算する際、荷重Pと反力Pは同じで、θも同じ値となるため、下半分で考えた場合が最大となるように思えますので、M4の式を用いて応力を算出するということで間違いないでしょうか？

お返事ありがとうございます。

二次モーメントについてまだ理解不足ですが、
Λは長さに関連するパラメータを二乗し長さで積分したものでしょうか。
(ひずみエネルギーの理解不足かと思いますが･･･)
?、?は傾きをどう表現しているのか分からず、?～?は曲げモーメントが間違っているのか違った式となりました。
?の二次モーメント：Λ＝∫(L0+R･sinθ)Rdθ 積分範囲(0→α)

＞余談ですが，提示の条件ではPとその反力でモーメントが発生しばねが回転
＞してしまいます。端部で回転を止めていると考えるのですか？
そう考えています

＞記号の構成がよくわからないので，勘違いかもしれませんが
＞半径ｒ部の中心角を2βとして，曲げモーメントは次式になりませんか？
＞M3=P{ L1･cosα+r(1－sinθ)} (※0≦θ≦β)
＞M4=P{ L2･cosα+r(1－sin(θ－β)} (※β≦θ≦2β)

わかりにくい記述で申し訳ありません。
「く」の字のバネの円弧中心を通り水平に引いた線を中心線とすると、
上半分の円弧半径をr、円弧中心角をβ、直線部は円弧と接線として繋がっており、中心線と直線部とのなす角がα(つまりα＋β＝90°)、直線長さをL1としています。
荷重点をA、直線と円弧の接点をB、円弧と中心線の交点をCとする。
点Aをx=0とおくと、
AB間の荷重PによるモーメントはMab=P･x･cosα (0≦x≦L1)
点Cをθ=0とおくと
BC間の荷重PによるモーメントはMcb=P･L1･cosα+P･r･sinθ･cosα (0≦θ≦β)
となると思います。
単純に荷重Pと荷重Pに対し垂直方向の距離を乗算しているだけです。
(材料力学を勉強し始めたばかりですので、突拍子のない記述をしていましたらご容赦下さい)

?と?の式について?を例にあげて追記します。
曲げモーメント：M=Px
二次モーメント：Λ=∫x^2dx (積分範囲0→L) =L^3/3
(ここまで?と同じ)
で部材の長さsをどう考えれば良いのかが不明なのです。

お返事ありがとうございます。

ご丁寧にありがとうございます。
?は理解できたと思います。
?を同じようにあてはめると、
曲げモーメントM=Px (0≦x≦L)
Λ＝∫ M･∂M/∂P･dｘ/P＝∫x^2dｘとなり
積分範囲を0→Lとしても0→sとしても、sL^2/3とはならず困っています。

BC間の荷重Pによるモーメントを再度計算しました。
確かに仰る通りでした。計算ミス申し訳ありません。

ありがとうございます。
??ともに理解できました。

最後になりますが、追記の?の質問についてご回答頂けたら幸いです。
M2とM4は以下に訂正します。
M2=P[L1・cosα+r{cos(β－θ)－cosβ}](0≦θ≦β)
M4=P[L2・cosα+r{cos(β－θ)－cosβ}](0≦θ≦β)

お返事遅れました。
2点質問させて下さい。

＜二次モーメントについて＞
Λ＝Λ1＋Λ2＋Λ3＝s1･L1^2＋CR･R^3＋s2･L2^2
についてですが、
Λ＝Λ1＋2･Λ2＋Λ3＝s1･L1^2＋2･CR･R^3＋s2･L2^2
とならないでしょうか？
※ご紹介頂いたサイトに、板ばねの直線部と円弧部に分割する場合、円弧部はその中心を通り荷重線に垂直な直線で上下に分割するとあります。

＜全たわみの求め方について＞
荷重点の荷重P方向への全たわみδは、P=kδで求められるということで良いでしょうか？

＜最大応力について＞
Lmaxの位置について勘違いをしていたかもしれません。
板ばねについてLmaxの位置とは、
荷重作用線に垂直で最も遠い部分ですので、反力からの距離は全く関係ない。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
という考え方で正解でしょうか？
つまり･･･
Lmax=L1･cosα+r{cos(β－θ)－cosβ}でθ=βのとき
よって
Lmax=L1･cosα+r-r･cosβ
にて最大応力が発生する。

質問は3点でした。

ありがとう御座います。
3点ともOKということで良かったでしょうか？

長い間、ご丁寧に説明頂きありがとうございました。

回答No.1

noname#230359

簡単に考察しましょう。
↓Pの力は、くの字の上の反力↑PUとくの字の下の反力↑PDの和に等しく
なり、ばねの直列配置と同じになるので、その力が其々（1/2↓P）となり
ます。そして、反力は板ばねの撓み率（撓み量÷長さ）に比例します
から、近似値ではくの字の上の板ばね長さ；くの字の下の板ばね長さ
だけ変位量が上下で異なります。
板ばねは、くの字の中段の支点より辺に対して直角に力が働きます。
それを真上に働く反力とくの字の辺を圧縮させる力に分解されてるので、
くの字の辺を圧縮させる力の分だけ、多く板ばねを撓ませる必要があり
ます。
以上を留意すると、貴殿の記述がら推測すれば解ける筈です。
バネは、撓み量から力を導き出します。
そして、その材料のばね限界値が最大応力で、くの字の支点であり、
その時の片持ち梁計算での撓み量が、最大撓みです。

貴殿の記述通りです。
力は、同じ↑P(反力)で、撓み量が辺の長さ比で異なります。
撓み率（撓み量÷長さ）は、同じですが。

少し勘違いして誤記してしまいました。
御免なさい。
貴殿の力の記述内容で、当初からＯＫです。

参考URL：

http://www.tokkin.co.jp/materials/stainless_steel/000099.php

お礼

お返事ありがとうございます。
ご回答の最初の方で疑問に思いましたので質問させて下さい。

＞↓Pの力は、くの字の上の反力↑PUとくの字の下の反力↑PDの和に等しく
＞なり、ばねの直列配置と同じになるので、その力が其々（1/2↓P）となり
＞ます。

とありますが、これは「くの字」の上半分と下半分をそれぞれ1つのばねと
みなして、それが直列に繋がっている(下図のイメージ)で良いですか？
|
S ←上のばね
|
|
S ←下のばね
|
この場合、上のばねに荷重Pを加えると
| ↓P(荷重)
S ←上のばね
| ↑P
| ↓P
S ←下のばね
| ↑P(反力)
というようにそれぞれのばねに荷重Pが加わると思うのですが･･･。
何か単純なことで私が勘違いしていますでしょうか？