続、２変数関数の極限

質問

q=91590に絡んだ質問です。

『f(x,y)が(x,y)→(x0,y0)の時aに収束するとは
任意のε>0に対し、あるδがあって
|(x,y) - (x0, y0)|<δについて|f(x,y) - a|<ε
となる事である。』

が２変数関数の極限の定義である事は分かるのですが、
これって(x,y)→(x0,y0)の近付き方によらず一定値aに収束するって事ですよね？
でも例えば

lim (xy + x)/(x+y)
(x,y)→(0,0)

って先にx→0ってすると0、先にy→0ってすると1で、値が異なりますよね。
こう言うのは上の定義に当てはまらないから収束しないと考えていいんですか？これが一つ目の質問。

上の例が収束しないとすると、収束するかどうかはどう見極めればいいのでしょう？
q=91590でsiegmundさんがおっしゃっていた
(a)　　|y/x| → 0 としながら，x,y → 0
(b)　　|x/y| → 0 としながら，x,y → 0
(c)　　|y/x| → a (ゼロでない正定数) としながら x,y → 0
で同じ値になったら収束すると判断していいのはどう言う関数なのでしょうか？
そしてそれは何故なのでしょうか？

他にどういう例があるのでしょうか？

前回のURL：http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=91590

回答No.12

oodaiko

oodaikoです。相変わらずお騒がせしております。今日気がついたのですが
rabbieさんの回答No.5は一般のＫに対する証明をしようとしたものではなく、
Ｋ＝0の場合についてのものでしたね。それならばこれで証明になっています。

つまりrabbieさんが証明した命題は

関数f(x,y)が
(a)　　y/x → 0 としながら，x,y → 0
(b)　　x/y → 0 としながら，x,y → 0
(c)　　y/x → a (ゼロでない定数) としながら x,y → 0
としたとき、いずれの場合でも0に収束するならば
(x,y)→(0,0)とした時のf(x,y)の極限値は存在しそれは0である。

というものであって一般の実数に対するものではなかったですね。
つい一般の実数に対するものと勘違いしてしまって失礼しました。

また
＞（＊）rabbieさんの回答ではこの段階で「この{A_n}はsiegmund条件(a)(b)(c)
＞を満たさないから証明できた」としていますが、先に書いたように siegmund条件(a)(b)(c)
＞の否定はそう単純なものではないので、まだこの段階では証明は終了しません。（＊）
なんて書いてしまいましたが、良く考えるとこの段階で{A_n}は"siegmund条件(a)(b)(c)"
を満たさない例になっていました。これも私の早とちりでした。

また一般の実数Ｋに対してもrabbieさんの証明で
|f(*)|> ε
と書かれている部分を
|f(*)- K|> ε
と書き直せばほとんどそのまま通用しますので、本質的にはrabbieさんの証明で完了です。

と、いうわけで改めてもう1度

＜rabbieさんのNo.5の回答について。
いや恐れ入りました。完璧です。

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なおついでに
＞(*1)(*2)の証明はほかの人に譲ります
ということなので、この部分を補足しておきます。
実はこの部分がrabbieさんの証明のポイントであり、またこの命題が成立する
理由の本質的な部分でもあります。

〈(*2)の証明（(*1)の証明も兼ねています）〉
[0,2π)を長さπである２つの集合T_{01}とT_{02}に分割する。
（具体的にはT_{01} = [0,π) , T_{02} = [π,2π)です）
{θ_n}は無限集合だから、T_{01}とT_{02}の少なくとも一方に{θ_n}の無限部分集合
（つまり部分列）が含まれる。
いまT_{02}をそのような集合とする。T_{02}から適当な点を１つ選びそれをθ'_0とする。
次にT_{02}を長さπ/2である２つの集合T_{11}とT_{12}に分割する。すると同様に
T_{11}とT_{12}の少なくとも一方には{θ_n}の部分列が含まれる。
T_{12}をそのような集合とし、T_{12}から適当な点を１つ選び、それをθ'_1とする。
（ただし θ'_1＝θ'_0 であっても構わない）すると
｜θ'_1－ θ'_0 ｜＜ π である。
以下同様の操作を行なうと
｜θ'_{i+1} － θ'_i ｜＜ π/ 2^i
となるような{θ_n}の部分列{θ'_i}をとることができる。
ところで{θ'_i}はコーシー列である。すなわち
｜θ'_i － θ'_j ｜→0 （i,j→0)
である。よって実数の完備性より
{θ'_i}はある実数αに収束する。
θ'_i ∈ [0,2π)だから α∈ [0,2π]である。　　　　　　　　　　　　　　　　■