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続、２変数関数の極限
rabbieの回答
- rabbie
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皆さんがんばっていますね。 私の先の証明ですが、表現がおかしかったり、あいまいなところがありますが、基本的な考え方は正しそうなのですがどうでしょうか。あとでもう一度書き直したいと思います。 (a)(b)(c)の条件は、大雑把に言って(x,y)が原点に近づく時に原点に近づくよりも早く y=ax なりの直線に近づいていく、ということで、直線上だけを動きながら原点に近づくより、動きの幅がちょっとあるのでそのため条件が少し厳しくなって、(a)(b)(c)の全て近づき方で同じ収束値を取るならば、どんな近づき方をしても同じ収束値に収束するといえるようです（と思います）。 私も何とか反例を作ろうと思ったのですが、次のような過程で反例は作れないんじゃないかと思いました。 以下、(a)(b)(c)の近付き方全てで関数fがαに収束するとします。（条件A) まず、y=x^2, y=x^(1/2), y=sin(x) のような曲線上を原点に向かって進む場合を考えました。この場合、これらの曲線は原点で接線が存在するので、この近付き方はこの接線に近づきながら原点に近づく近付き方で、(a)(b)(c)のどれかに当てはまってしまい（ちょっとここ大雑把ですが、つまり |y/x| -> 0,∞,1 等になるということです）反例にならない。（αに収束してしまう） 次に、r=1/θ (θ -> ∞)のように原点の周りをぐるぐる回りながら原点に近付く近付き方を考え、この近付き方をした時に異なる収束値βを取ったり発散したりする反例を作ろうと思いました（振動する反例はあとで考えます）。この場合、原点の周りをぐるぐる回る間に、例えばx軸に無限回ぶつかるので、この交点達は、x軸上を原点に向かうので(a)の場合に含まれ、この動き方で異なる収束値βを取ったり、発散したりすることになるので、やはり反例になりえない（条件Aに矛盾する）。 r=1/θ (θ -> ∞)の近付き方で関数の値が有限の振幅で振動する場合は、関数の値がαと有限の値（εとする）より大きく異なる部分だけを取り出すと、この部分の軌跡がやはり、なにかしら原点を通る直線に無限回ぶつかるか、ごく近くを無限回通りそうだ、ということで（かなりいいかげんですが）やはり反例になる可能性が薄そうだと思ったのです（矛盾しそう）。 ほかにも考えたのですが、どうも作れそうにないんじゃないか、と思ったわけです。 -------------------------------- 下のsiegmundさんのNo9 の最後のほうで、 ＞すなわち，(a)の場合の内部で極限値が決まらないことになります． のこの時点で関数は極限値を持たない、というのが答になるので、 ＞この例では，x^2 と y とでどちらが早くゼロに行くかの分類がまた必要です． の分類はもう必要ないのではないでしょうか。
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補足
> この場合、原点の周りをぐるぐる回る間に、例えばx軸に無限回ぶつかるので、この交点達は、x軸上を原点に向かうので(a)の場合に含まれ これは一部分を取り出せばそこに関しては(a)かも知れませんがぐるぐる回りながら近付いているもの自体は明らかにy/x→0じゃないですよね。 (a)ってのはoodaikoさん@No.11さんの言葉を借りれば 「θ→0,r → 0 と言う条件を満たしつつ(x,y)→(0,0)とする」 という事であって、θがぐるぐる回って極限値を持たない様な近付き方は(a)には当たらないと思うのですが。