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数学を教えてください
a+b+c=1 ab+bc+ca=-4 abc=2のとき (1) x^3+Ax^2+Bx+C=0がx=a,b,cを解にもつとき、A,B,Cを求めよ。 (2) a^5+b^5+c^5の値は？ というものです。 答えは (1)A=-1,B=-4,C=-2 (2)151となるそうです。 やり方を教えてください。
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(2) a^5+b^5+c^5 = (a^2+b^2+c^2)(a^3+b^3+c^3) -(a+b+c)((ab)^2+(bc)^2+(ca)^2) +abc(ab+bc+ca) と変形できます。 a^2+b^2+c^2 = (a+b+c)^2 -2(ab+bc+ca), a^3+b^3+c^3 = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) +3abc, (ab)^2+(bc)^2+(ca)^2 = (ab+bc+ca)^2 -2abc(a+b+c), これらを用いて計算すると、a^5+b^5+c^5=151 になります。
- f272
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(1) 解と係数の関係から明らかです。 (2) a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=1+8=9 である。またa^3=a^2+4a+2だから a^4=a^3+4a^2+2a=5a^2+6a+2 a^5=5a^3+6a^2+2a=11a^2+22a+10 b^5, c^5についても同様であるので a^5+b^5+c^5=11(a^2+b^2+c^2)+22(a+b+c)+30=99+22+30=151
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