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数学的帰納法 解き方教えてください
meowcooooの回答
356(1) 問題の指示通りに 2(n+1)an= n=1の時 2(1+1)a1=4a1=4(1-1/4)=3 n=2の時 2(2+1)a2=6a2=6[(1-1/4)(1-1/9)]=4 n=3 2(3+1)a3=8a3=8[(1-1/4)(1-1/9)(1-1/16)]=5 n=4 2(4+1)a4=10a4=10[(1-1/4)(1-1/9)(1-1/16)(1-1/25)]=6 (2)以上から 2(n+1)an=n+2つまり an=(n+2)/2(n+1)と推定できる 帰納法使って <i> n=1のとき a1=1/2 で成り立つ。 <ii> n=kのとき ak=(k+2)/2(k+1)・・・*が成り立つと仮定すると n=k+1のとき a(k+1)=(k+1+2)/2(k+1+1) つまりa(k+1)=(k+3)/2(k+2)を成り立つ事を示す。与えられたanの式から a(k+1)=ak ×[1-1/(k+1+1)^2] =(k+2)/2(k+1)×[1-1/(k+2)^2] []内を通分して計算すると =(k+2)/2(k+1)×[(k^2 +4k +3)/(k+2)^2] =(k+2)(k^2 +4k +3)/2(k+1)(k+2)^2 =(k+2)(k+1)(k+3)/2(k+1)(k+2)^2 =(k+3)/2(k+2) よってa(k+1)=(k+3)/2(k+2)の証明が出来たのでn=k+1の時も成り立つ。 以上からすべての自然数nについて推定式が正しい。 357 <i> an<(7/4)^nについて n=1のとき a1=1<(7/4)^1=7/4 n=2のとき a2=1<(7/4)^2=49/16 なので、成り立つ。 <ii> n=kのとき(k=3,4,5…) ak<(7/4)^k…☆1☆ 及び n=k+1のとき…☆2☆ a(k+1)<(7/4)^(k+1)を仮定すると a(k+2)<(7/4)^(k+2)が成り立つ事を証明する。 与えられた定義式より a(k+2)=a(k+2-2) +a(k+2-1) =ak +a(k+1) これは☆1☆と☆2☆の辺々の和なので ak +a(k+1)<(7/4)^k+(7/4)^(k+1) 共通因数で括って =(7/4)^k ×(1+7/4)=(7/4)^k ×(11/4) <(7/4)^k×(49/16)=(7/4)^k×(7/4)^2 =(7/4)^(k+2) よってa(k+2)<(7/4)^(k+2) 最後は11/4=2.75 < 49/16=3.0625 を使いました。もっと綺麗な回答がある気がします。
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お礼
大変助かりました。ありがとうございます。これを参考に解いてみます!