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費用曲線の特徴と誤解
- 費用曲線に関する誤解や特徴について解説します。
- 短期平均費用曲線と長期平均費用曲線の関係や形状について理解しましょう。
- 短期平均費用曲線の最低点が長期平均費用曲線に通るかどうかについて誤解があります。
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NO1への補足的コメントで >平均費用関数をXで微分すると以下が理解出来ませんでした。 と書いていますが、理解できないのは微分の計算、それともそのインプリケーション（意味合い）でしょうか？ ・微分は F(x)＝f(x)/g(x) の微分F'(x)は F'(x) = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)]/g(x)^2 という高校でも習う微分の公式を用いているだけですよ。 ・あとは、F'(x)>0ならば、F(x)はXの増加関数（グラフは右上がりの曲線）、F'(x)<0ならば、F(x)はxの減少関数（グラフは右下がり）、F'(x)＝０において極大あるいは極小をとるという事実を知ること。 ・例として総費用曲線が C＝x^3 -14x^2 +69x +128 であたえられたとき、平均費用曲線、限界費用曲線がそれぞれ AC=C/x=x^2-14x + 69 + 128/x MC = dC/dx = 3x^2 - 28x +69 となり、ACの最小点をMCが下から上へ横切ることを確かめてください。ヒント。ACの最小点の座標は（8,37)であり、ここでAC=MCとなる。
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- statecollege
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まず長期と短期とは何かということから始めましょう。具体的に考えるために、ある農産物を生産している農産物生産者を例にとってみましょう。この生産者は、l単位の労働、z単位の肥料、k単位の土地用役を投入することで当該農産物のｘ単位を、以下のような生産関数にしたがって得ているとしましょう。 ｘ = F(l,ｚ,k) ただし、lとｚは可変的生産要素、つまり、lとｚの値はいつでも自由に選択できるのに対し、kの値（農地の大きさ）は農地が農地所有者との間の長期契約によって提供されているので、短期的に変更することはできない、つまり固定的生産要素であるとしましょう。費用関数を求めるためには、費用最小化問題 min C = wl + pz + rk s.t. x = F(l, z, k) を解く。ただし、ｗは賃金、ｐは費用の価格、ｒは農地のレンタル価格（地代）とする。この問題の解は C = C(x, k) （＊） のようにで書ことができる。「短期」では、kは固定してるのが、「長期」にはｋの値は自由に選択できる。長期費用関数を求めるためには、短期の費用関数C(x,k)をｋについて最小化し、 C2(x,k)=0 をｋをｙについて解いて、k = k(x)を得る。この解は、与えられたxのそれぞれの値にたいしてCを最小化するkの値を示している。なお、C2(x,k)≡∂C(x,k)/∂kは第2番目の変数kの偏微分という意味だ。よって、長期の費用関数はk = k(y)を（＊）の右辺へ代入し、 C = C(x, k(x)) = C(x) （＊＊） によって与えられる。短期費用関数C(x,k)と長期費用関数C(x)の関係を考えよう。いま、kは任意の値k*に設定されているとする。すると C(x) =C(x,k(x)) ≦C(x,k*) がすべてのxについて成り立つ、ということはわかるでしょうか？すべての生産量ｘに対して長期費用は短期費用よりも小さいか、すくなくとも等しい。いま、k(x) = k*となるxをx*と書こう。すると、もちろん、k(x*)=k*が成り立つが、このとき C(x*) = C(x*,k*) が成り立つことはわかるでしょうか？固定要素がk*で与えられたとき、短期費用は長期費用より、生産量x*を除くすべての生産量xに対して高いが、生産量x*においては両者は等しくなる、ということです。同じことは費用を生産量で除した平均費用曲線についてもいえることはむろんです。いま、短期平均費用関数をSAC(x,k*)=C(x,k*)/xで表わし、長期平均費用関数をLAC(x)＝C(x)/xで表わすと、すべてのxに対して LAC(x)≦SAC(x,k*) が成り立ち、x=x*に対しては LAC(x*)=SAC(x*,k*) が成り立つ。よって、長期および短期の平均費用を縦軸に、生産量ｘを横軸にとって、LAC(x)、SAC(x,k*)の典型的なグラフを描くなら、U字型の緩やかな長期平均費用曲線LAC(x)のグラフとそれにたいしてx=x*のところで上方から接するU字型の短期平均費用曲線SAC(x,k*)のグラフという図になる。もちろん、k*は任意に与えられているから、別のkの値、たとえば、k**にたいしては別の短期平均費用曲線SAC(x,k**)が、x=x**のところで長期平均曲線LAC(x)にたいして上から接することになる。このように無数の短期平均費用曲線群が長期平均費用曲線に接していることになる。別の言葉でいうと、長期平均費用曲線は短期費用曲線群の「包絡線」となっている、ということです。 長期平均費用曲線がU字型で、長期平均費用はx=x^において最小値をとっているとしよう。このときは、k^ ≡k(x^)を持つ短期平均費用曲線SAC(x,k^)はx=x^において最小値SAC(x^,k^)をとる、つまりLAC(x)とSAC(x,k^)はx=x^で接しているので、この特殊の場合には(4)が成り立つが、これは例外的状況であるといえるでしょう。 さいしょう
補足
先日に続き、御回答ありがとうございます。 数式は理解出来ませんでした。もう少し初歩のところから学習してみます。 図等から理解に努めようと思います。
- statecollege
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>(1)と(2)は、理論的にどうしてそうなるか理解は出来ませんが・・・ いま、費用曲線をC=C(x)と書こう。ただし、Cは総費用、ｘは生産量とする。 すると、平均費用曲線はAC(x)=C(x)/xであり、限界費用曲線は MC(x) = dC/dx = C'(x)で与えられる、ということはよいでしょうか？すると、平均費用関数をｘで微分すると AC'(x) = [C'(x)x - C(x)]/x^2 = C'(x)/x - [C(x)/x]/x =[ MC(x) - AC(x)]/x となる（確かめよ）。よって、 AC'(x) < 0 MC(x) < AC(x)のとき = 0 MC(x) = AC(x)のとき > 0 MC(x) > AC(x) のとき となる。言葉でいうと、限界費用が平均費用より小さい（生産量の）領域では平均費用は下落し（平均費用曲線は右下がりである）、限界費用が平均費用より大きい領域では平均費用は上昇し（平均費用曲線は右上がりである）、限界費用と平均費用が等しいとき、AC'(ｘ）はゼロ、すなわち、平均費用は最小値をとる。 ＞(3)と(4)は図を見たこともありませんし、イメージも出来ません。 ミクロ経済学の教科書は持っていないのですか？ちゃんとしたミクロの教科書なら図と説明があるはずです！たとえば、私の手元にある２つの教科書（一つは入門レベル、もう一つは上級レベル）のどちらにもそうした図が載っています。書名とページを書いておきますので、図書館へでも行って調べてください。 井堀利宏「入門ミクロ経済学」（第2版、新世社）164-166ページ 神取道宏「ミクロ経済学の力」（日本評論社）138-142ページ
補足
御回答ありがとうございます。 総費用曲線÷生産量＝平均費用曲線 総費用曲線を微分すると限界費用曲線 になることは、数式上は理解出来ました。 平均費用関数をXで微分すると以下が理解出来ませんでした。御紹介いただいた本で調べてみます。
お礼
いつも御回答ありがとうございます。
補足
御回答ありがとうございます。以下の総費用曲線を微分すると、MCの式になることは理解出来ます。 お書きになられた微分の公式は理解出来ません。そのあたりの基礎から覚える必要があると思います。 微分の意味あいも理解していません。あくまでも下記の総費用曲線を微分する位しか微分の知識はありません。 それでも、今回の質問内容を完璧に理解出来なくても、少し問題をひねられても何とか解答出来る位の解法は 身につけたいと考えています。宜しくお願い致します。 例として総費用曲線が C＝x^3 -14x^2 +69x +128 であたえられたとき、平均費用曲線、限界費用曲線がそれぞれ AC=C/x=x^2-14x + 69 + 128/x MC = dC/dx = 3x^2 - 28x +69