- ベストアンサー
1次合同式の整数解の求め方,解答を教えてください。
a. 21x≡15 (mod 33) b. 144x≡3 (mod 89) c. 11x≡15 (mod 33)
- sironekoudon
- お礼率59% (71/119)
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数1
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
a. 21x≡15 (mod 33) 7x≡5 (mod 11) x≡5/7≡(5+11*4)/7≡49/7≡7 (mod 11) ∴x≡7, 18, 29 (mod 33) b. 144x≡3 (mod 89) x≡3/144≡(3+89*3)/144=90/48=15/8≡(15+89)/8=104/8=13 (mod 89) ∴ x=13 (mod 89) c. 11x≡15 (mod 33) 11x=15+33n (n=任意の整数) x=1+3n+4/11 ... xは整数値ではない。 (Ans.) 整数xは存在しない。
その他の回答 (1)
- f272
- ベストアンサー率46% (8018/17137)
(a) 7x≡=5(mod11)を解いてx≡7(mod11)だからx≡7,18,29(mod33) (b) x≡=13(mod89) (c) 11x≡15 (mod 33)より11x+33m=15だが左辺は11の倍数で，右辺は11の倍数でない。 解なし
関連するQ&A
- 1次合同式の整数解の求め方,解答を教えてください。
1. 21x≡1(mod 37) 自分では次のようにやりました。 21x≡1(mod 37) 以下mod 37で考える。 37x≡0, -)21x≡1 16x≡-1 21x≡1 -)16x≡-1 5x≡2 ↓両辺3倍 15x≡6 16x≡-1 -)15x≡6 x≡-7 答え x≡-7(mod 37) これで正解でしょうか?またもっとやりやすい、解きやすい方法はありますか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 代数学の、整数の合同の問題を教えて下さい。
この問題がわからず困っています。 (1)n,mは互いに素な整数とする。 このとき、sn+tm=1となる整数s,tが存在する。 a,bを整数とする時、x=bsn+atmとおく。このとき、xは合同式 x≡a mod n x≡b mod m を満たすことを示しなさい。 (2)さらに、xをnmで割った余りをrとする。この時rは r≡a mod n r≡b mod m を満たすことを示しなさい。 という問題です。 分かる方、よろしくお願いいたします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 合同式の解き方を教えてください。
解き方が別の合同式だと思うのですが、それぞれの問題の解き方を教えてください。 一つ目 次の合同式を解く、または、解けないことを証明せよ。 (a) 3x^2 - 5x + 7 ≡ 0 (mod 13) (b) 5x^2 - 6x + 2 ≡ 0 (mod 13) (c) x^2 + 7x + 10 ≡ 0 (mod 11) 二つ目 29の原始根は2であり、指数表を作り、それを使って合同式を解け。 (d) 17x^2 - 3x + 10 ≡ 0 (mod 29) (e) x^7 ≡ 17 (mod 29) これらの問題の解き方を教えてください。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 合同式の性質に関して
合同式の性質に関して、疑問があります 整数a≡整数b （mod整数c) ⇔ 整数a＋整数d≡整数b＋整数d （mod整数c) 整数a≡整数b （mod整数c) ⇔ 整数a－整数d≡整数b－整数d （mod整数c) は定義よりあきらかに成立しますよね じゃあ積ならどうなるのだろうと思って考えてみたのですが まず、【整数a≡整数b （mod整数c)⇔整数a≡整数b （mod整数c) ∧ 整数d≡整数d （mod整数c) と乗法の性質】から考えてこれは成り立ちますよね 整数a≡整数b （mod整数c) ⇒ 整数a×整数d≡整数b×整数d （mod整数c) でも 整数a≡整数b （mod整数c) ← 整数a×整数d≡整数b×整数d （mod整数c) が成り立つかどうかわかりません 証明しようとしたのですがうまくいきませんでした 教えてください
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 合同式がわかりません
合同式について 473^5 ≡ 3^5 ≡ 3^3 × 3^2 (mod5) ここで 3^3 ≡ 27 ≡ 2 (mod5) 3^2 ≡ 9 ≡ 4 (mod5) より 473^5 ≡ 2×4 ≡ 8 ≡ 3 (mod5) よって473^5を5で割った余りは3である と書かれているのですが 理解できない部分があります。 a≡b (mod n), c≡d (mod n) のとき ac≡ bd (mod n) という公式を使って (3^3)*(3^2) ≡ 2*4 (mod 5) となる。 というのは教えてもらって理解できたのですが その後 473^5 ≡ 2×4 ≡ 3 (mod5) このような形にしていいのは何故なのでしょうか くだらない質問かもしれませんが よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 合同式の証明について
自分の使っている参考書に書かれている合同式の証明で a≡c (mod m) b≡d (mod m)より a-c=mp b-d=mq (p,qは整数)とおくことが出来る。 よって (a+b)-(c+d)=(a-c)+(b-d)=mp+mq=m(p+q) (a-b)-(c-d)=(a-c)-(b-d)=mp-mq=m(p-q) ab-cd=(c+mp)(d+mq)-cd=m(cq+pd+mpq) ゆえに(a+b)-(c+d),(a-b)-(c-d),ab-cdはmの倍数であるから a+b≡c+d(mod m) a-b≡c-d(mod m) ab≡cd(mod m) は成り立つ。 と書かれているのですが、全体的によく理解が出来ません。 まず なぜ a≡c (mod m) b≡d (mod m) であれば a-c=mp b-d=mq (p,qは整数)と、おくことが出来るのかということと ab-cdからどのような計算をすると(c+mp)(d+mq)-cd このようになるのかもわかりません。 数学はあまり得意ではないので中学生レベルの学力でも理解できるように 説明していただけると有り難いです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 連立合同式の商の定理について
連立合同式の商の定理について教えてください。 x,yを整数 m,aを自然数とするとき ax≡ay (mod m) ⇔ x≡y ( mod m/GCD(m,a) ) (おかしな表記ですみません。( mod -)は分数式です) が「商の定理」と習いましたが、これは連立合同式 x≡a (mod K) x≡b (mod L) x≡c (mod M) のK L M が「互いに素」ではないときに適用できる定理だと思うのですが、うまく理解できません。 解らない点:(1) 連立合同式 x≡a (mod K) x≡b (mod L) の時、K L のGCDが「1」で「互いに素」と覚えていますが x≡a (mod K) x≡b (mod L) x≡c (mod M) の時も K L MのGCDが「1」で「互いに素」、それ以上ならば「互いに素」ではないと理解してよいのでしょうか？ 解らない点:(2) x≡a (mod K) x≡b (mod L) x≡c (mod M) で K L M が「互いに素」ではない場合、商の定理を適用した解法でx≡y ( mod m/GCD(m,a) )を求める方法。 K L M が「互いに素」ではない時、K L Mの最小公倍数を使えばよいのは解るのですが、GCD(m,a)の「a」が理解できません。「m」はK L Mの最小公倍数だと思うのですが、「a」は何になるのでしょう？ x≡2 (mod 4) x≡4 (mod 12) x≡3 (mod 9) の場合を例として、具体的に解法を教えてください。 よろしくお願いします。もしも上式が連立合同式として成立しないのであれば、その理由も教えてください。 中国式余剰定理では、( mod ○ )が「互いに素」ではない場合にも解を求める事ができると、参考書にはあるのですが、最小公倍数を使う事しか理解できません。 具体的な解法で、よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- オイラーの定理(整数)
nは自然数、aは整数とする。aとnが互いに素な時、a^{φ(n)}≡1( mod n)が成り立つ。 ここでφ(n)は「n以下の自然数でnと互いに素なものの個数を表す」"オイラーの関数"である。 この定理の例証で、例えばn=45=3^(2)*5のときa=7として考えます。 φ(45)=φ(3^2)*φ(5)となり、φ(3^2)=6、φ(5)=4です。 フェルマーの小定理よりmod 5 で、7^φ(45)={7^φ(5)}^φ(3^2)は {7^φ(5)}≡1 (mod 5)より、7^φ(45)≡1 (mod 5 )・・・(1)になり。 次に7^φ(3^2)≡1(mod 3^2)をしるします。フェルマーの小定理より mod 3 で 7^(3-1)≡1なので7^(3-1)＝3k+1、 7^φ(3^2)={7^(3-1)}^3＝(3k+1)^3=(3k)^3+3C1(3k)^2+3C2(3k)+1 3C1、3C2は３の倍数なので、7^φ(3^2)≡1(mod 3^2)・・・(2)です。 よって、7^φ(45)={7^φ(3^2)}^φ(5)≡1(mod 3^2)となります。 ここからが分からない箇所なのですが、中国の剰余定理から、 (1)かつ(2)⇔7^φ(45)≡■(mod 3^(2)*5)となる■が、1つだけ存在します。と書いてありますが、自分は中国の剰余定理は、m、nを互いに素な自然数とする。 x≡a(mod m)かつ x≡b(mod n)を満たす整数xはmnを法として、ただ1つ存在する。と書いてあることから、割る数が違えば、a,bのように余りもちがう場合に、整数xはmnを法として、ただ1つ存在する。と思っていたのですが、 この例証では、■≡7^φ(45) (mod 5)かつ■≡7^φ(45) (mod 3^2)のような余りが 一緒の場合を同時に満たす■を求めているような気がして、中国の剰余定理があてはまるか不安です。 自分の考えの間違いや、余りが一緒の場合でも中国の剰余定理が使えるかを教えてください。お願いします。 本では、■＝1のとき(1)、(2)が成り立つので、■＝1だとわかります。 よって7^φ(45)≡1(mod 45 )となることがしるされました。としめくくっています。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
丁寧に回答ありがとうございました。