シルピンスキー・ガスケットbox-counting

質問

シルピンスキー・ガスケットに、長さ１の線分をつなげてできる図形のbox-counting次元が分かりません。

私の考えは、
シルピンスキー・ガスケットのbox-counting次元がlog3/log2で
長さ１の線分のbox-counting次元が１なので
つなげてできる図形のbox-counting次元は(log3/log2) + 1ということなのですが、違うようなのです。

よろしくお願いします。

回答No.1

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(log3/log2) + 1って2を超えてる... というか、その考えだと2つシルピンスキー・ガスケットをつなげると2*(log3/log2)になってしまうのでは？

box-counting次元というのは初めて聞いたのですが、取り敢えず
http://bonryu.com/Bonryu/Lecture_files/TCSE8.pdf
の定義に従うと、要は1辺がLの2次元正方形でシルピンスキー・ガスケットを覆いつくそうとすると、ある定数Cがあって、大体N(L) ~ C * ((1/L)^d), d=log3 / log2 (L→0)個位必要なのでしょう？

で、長さ1の線分を1辺がLの2次元正方形で埋め尽くそうとすると、高々1/L = (1/L)^(1)個位で、合計すると、問題の図形を1辺がLの2次元正方形で埋め尽くそうとすると大体 M(L) ~ C * ((1/L)^d) + (1/L)^(1)個位必要ということになる。ここで、L→0とすると、(1/L)^(1)の部分は((1/L)^d) の項と比較すると結局消えて亡くなる(d>1だから）、というか

lim_(L→0) { log(M(L)) / log(1/L) }

を計算すると、結局d=log3/log2になりますよね。

お礼

早速の回答ありがとうございます。
大変分かりやすく理解に助かりました。
参考にさせていただきます。