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円周率の求め方
ＸのX乗について Ｘを負から0に近づける時… (-0.1)^(-0.1) = 1.19730922 - 3.89029347i×10^-1 (-0.01)^(-0.01) = 1.04661185 - 3.28911025i×10^-2 (-0.001)^(-0.001) = 1.0069267 - 3.16336393i×10^-3 … (-10^-10)^(-10^-10) = 1 - 3.14159266i×10^-10 … (-10^-40)^(-10^-40) = 1 -3.1415926535897932384626433832795028842261045370248i×10^-40 このとき虚部の数字の配列が、円周率の数字の配列に類似してきますが、 このまま nを大きくして行くと(-10^-n)^(-10^-n) →1-πi×10^-nに近づいて行くのでしょうか。 また、仮に上記が成り立つとして、πの計算の効率が良いものと言えるでしょうか。
- wakayobo
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複素数u,zとし、実数xを取りz=-x+i・0 (x>0)とする。 u=z^z,log u=zlog z=-x(log|-x|+iarg z)=-x(log x - iπ) u=exp(-xlog x)・exp(-iπx) ここで、ロピタルの定理から -xlog x→0(x→+0) さらに、exp(-iπx)=cos(-πx)-isin(πx) cos(-πx)→1(x→+0) x=10⁻ⁿとすると、マクローリン展開で sin(πx)≒πx=π10⁻ⁿ これらを元の式に入れると u→1-i(π10⁻ⁿ) (x→+0) となる。 πの計算の効率についてはわかりません。
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お礼
ご解答ありがとうございます。一行目から感動しました。またよろしくお願いします。