解析学に関する誤った予想

質問

『素数に憑かれた人たち』（ジョン・ダービーシャー著、松浦俊輔訳、日経ＢＰ社）という本で、リトルウッドなどの論証として「解析学における長い間未解決の予想は一般に間違っていたことがわかる」と書かれていました。現在解決済みの、解析学に関する予想の中で元の予想が誤っていた例は存在しますか？　ここでいう解析学は微積分などに限定せず、極限に関する学問全般のこととします。純粋数学に属するものを優先して挙げてもらいたいです。
　余談ですが自分でその例を探したとき、セルバーグ予想、サルナック予想を知りました。後者は前者を否定した予想なので、解決されればどちらかの予想が間違っていたことがわかるのですが……

回答No.1

ask-it-aurora · ベストアンサー

現在は学部で習うような比較的やさしい事柄でも昔の予想（直観）に反するような例はあります．極限に関しては一様収束や一様連続に関する事柄が有名ではないかと思います．

19世紀前半のコーシーやボルツァーノの時代までは
* 収束する連続関数列の極限は連続関数
* 連続関数の微分不可能な点は孤立したいくつかの点だけである
といった命題が真だと信じられていたそうです．

19世紀後半のワイエルシュトラスの時代には一様収束や一様連続の概念が確立し，
* アーベルの反例 f_n(x) = sin(x) - sin(2x)/2 + sin(3x)/3 - …
* ワイエルシュトラス関数 f(x) = Σb^n cos(a^n x)
などが知られ，上の命題は偽だとわかりました．

参考文献：『解析教程（下）』E.ハイラー・G.ヴァンナー 第III章 古典解析の基礎