数学の問題について

質問

数学の問題です。

m行n列（0<n<m)の行列Aとm次元の列ベクトルbが与えられたとき、線形方程式

Ax=ｂ　・・・(1)

を考える。ただしｘはｎ次元の列ベクトルである。さらに(1)式に対応する同次方程式

Ax=0　・・・(2)

は自明でない解をもたないとする。

m次元空間において、行列Aのｎ個の列ベクトルが張る部分空間をVとするとき、(1)式の
解が存在する場合のVとｂの関係、および、解が存在しない場合のVとｂの関係をそれぞれ
説明しなさい。

意味が分かりません。参考書の部分空間のところを熟読してもいまいち意味が分かりません。

分かる方教えてください。
宜しくお願いします。

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

一言一句の単位で考えたとき、「いまいち意味が分か」らないと仰るのはどの部分でしょうか。

　ま、「一般逆行列」ってものを調べてみると、この問題の深い意味が分かるんじゃないかな。その応用は広く、そのものズバリの教科書もありますから、勉強してみて損はないと思いますが。

補足

回答ありがとうございます。
自明でない解をもたないとする。→自明である解をもつ。
と解釈してAは逆行列を持つということでいいですか？

分からないのは、解が存在する場合と存在しない場合の～～というところで、存在しない場合というのが分かりません。(2)式で自明である解をもつと言っているのに解が存在しないというのはどういうことなんでしょうか？

回答No.3

Tacosan

自明な解はそれであってます. ただ,
「自明でない解をもたない」
と
「自明である解をもつ」
とは違うことを言っているので「言い換え」にはなりません. 「自明でない解を持たない」というのはあくまで「自明でない解を持たない」と言っているにすぎないのであって, 「自明な解を持つ」かどうかについては言及していません.

「『自明な解』は自明なんだから持っていて当たり前」というのはある意味その通りですが, そうすると「自明でない解を持つかどうかに関係なく自明な解を持つ」わけだから, やっぱり言い換えにはなりえません.

「自明な解しか持たない」なら言い換えになるんだけど.

回答No.2

Tacosan

まず
「自明でない解をもたないとする。→自明である解をもつ。」
は意味がわからない. 正確には「→」が何を意味するのかがわからない.

で (2) が自明な解を持つとして (というか必ず持つんだが), だからといって (1) が解を持つとは限らんのよ. 具体的には
x = 1
x = 2
は解を持つ?

えぇと, (2) の「自明な解」ってなにかわかりますか?

補足

回答ありがとうございます。
→は数学的な意味ではなくて、ただ言い換えてるだけなのですが
違うのですね。

自明な解ってx1=x2=...=xn=0ってことですよね。
間違ってたら教えてください。