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色と記号つきカードの組み合わせと確率
赤青黄黒のカードが各5枚ずつあり、各々にa,b,c,d,eの記号がつけてあります。合計20枚です。そこから色も記号も異なる3枚を取り出す確率はいくらになるのでしょうか。全ての場合が20C3で、3種類の色のカードを取り出すのが4C3でその各々から1種類の記号のカードを取り出すのが5C1で, その先が分かりません。根本的に場合わけができていないのでしょうか。よろしくお願いします。
- wakakusa01
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#2です。 「独立」という言葉を使ったのが悪かったのかも知れませんね。 要するに、「色が違う」ことと、「記号が違う」ことは1対1の対応ではなく、1対"場合の数"ということが言いたかったんですが。 「色が違う=4色から3色選んだときの組合せ 4C3」 と 「記号が違う=5種類から3種類選んだときの組合せ 5C3」 から1つずつ選ぶときの選び方は何通りか? ということですね。 >。「3つを並べる順列 3P1=3! 」は、言葉としてはわかりますが、独立ではないような気がしてなりません。 これは「独立」ということとはちょっと違います。 3色に3種類の記号の割り振り方を考えているだけです。 つまり、 4C3×5C3×3! この式は (4色から3色選ぶ場合の数)×(5種類から3種類選ぶ場合の数)×(選んだ3色に、選んだ3種類を当てはめるときの割り振り方の数) を意味しています。
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- hinebot
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#2です。 横から失礼します。 >(1)、(2)の各々は理解できますが,(1)X(2)の意味。 >(1)×(2)×3!…色も記号も異なる3枚を取り出す場合の数。 「色が違う」と「記号が違う」のは独立した事象である(どちらも、もう一方に左右されない)ですよね。 つまり、「色が違う」おのおのの取り方について「記号が違う」とり方があるので、総数は積になります。 なので、(1)×(2)です。 例を挙げると色の組合せは (赤、青、黄),(赤、青、黒),(赤、黄、黒)… とあり、記号の組合せは (a,b,c),(a,b,d),(a,b,e)… とありますが、 (赤、青、黄)に対して(a,b,c),(a,b,d),(a,b,e)… (赤、青、黒)に対して(a,b,c),(a,b,d),(a,b,e)… … という風に考えられるということです。 しかし、これでは完全ではありません。例として、 (赤、青、黄)に対して(a,b,c) について考えましょう。 a,b,c が赤、青、黄のどのカードなのかによって、また組合せが変わりますよね? つまり、 赤a,青b,黄c も、青a,赤b,黄cも、黄a,青b,赤cも、どれも「(赤、青、黄)に対して(a,b,c)」になっているわけです。 これの数は、3つを並べる順列 3P1=3! になりますよね。 従って、最後にこれを掛けて (1)×(2)×3! が、「色も種類も異なる3枚を取り出す場合の数」になります。
補足
ありがとうございます.独立がおぼろげに理解できました.「赤6個、青4個から赤2個、青2個を取り出す確率を求める場合」との「独立」の定義が微妙に違う気がします。「3つを並べる順列 3P1=3! 」は、言葉としてはわかりますが、独立ではないような気がしてなりません。補足お願いできますでしょうか。
- hinebot
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#2です。 >{(20×12×6)/3!}/20C3 = 240/1140 = 12/57 まだ約分できましたね。#4さんと同じく 4/19 になります。
お礼
ありがとうございます.よく見もせずに失礼しました.
- kiriburi
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まず、3種類の色,3種類の記号のカードから色も記号も異なる3枚を取り出す場合の数は3!通り。 このことをふまえて、4色5記号から色も記号も異なる3枚を取り出す場合の数を考えると (1)3種類の色のカードを取り出すのが4C3 (2)3種類の記号のカードを取り出すのが5C3 (1)×(2)×3!…色も記号も異なる3枚を取り出す場合の数 >全ての場合が20C3 ですから、確率は4C3×5C3×3!÷20C3=4/19
補足
すみませんが、ここのところが、よくわかりません。 解説お願いできますか? (1)、(2)の各々は理解できますが,(1)X(2)の意味。 (1)×(2)×3!…色も記号も異なる3枚を取り出す場合の数。 hinebotさん、 liar_adanさん の説明はわかりやすいのですが,答えも違うし・・・。
- hinebot
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#2です。 >確率は (20×12×6)/20C3 = 240/1140 = 12/57 >となります。 すみません。この式に3!が抜けておりました。 {(20×12×6)/3!}/20C3 = 240/1140 = 12/57 です。
- hinebot
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>全ての場合が20C3で ここまではOK. この後は#1さんのおっしゃるようにnCr だけで考えるとややこしいですよね。 1枚目は任意なので20通り 2枚目は1枚目に引いたカードと色および記号が違わないといけないので、 3×5-3×1=12通り 3枚目はさらに、1枚目とも2枚目とも色・記号が違わないといけないので 2×5-2×2=6通り よって、全部で (20×12×6)/3! = 240 通り (3!で割っているのは、カードを引く順番による重複があるため) 確率は (20×12×6)/20C3 = 240/1140 = 12/57 となります。
- liar_adan
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nCnで考えるとかえってややこしくなります。 タテ4マス、ヨコ5マスの配列を書いてください。 それぞれが色と記号に対応します。 まず1枚目。とにかくどれかの色でどれかの記号になるのだから、 確率は100%。 引いたカードを見て、配列の該当するマスに○をつけます。 そして、○印のタテヨコに、×をつけていきます。 同じ色、もしくは同じ記号のところは×。 次に2枚目をめくります。 残ったカードは19枚。 その中で、同じ色や同じ記号にならないものは、 配列のまだ×がついていないところです。 残っている空白のマスは12個のはずだから、 確率12/19。 2枚目もまた、配列の中に丸を付け、 タテヨコに×を書き込みます。 そして3枚目を引きます。 残っているカードは18枚。 空白のマスは6個のはずだから、 6/18=1/3 こうして考えると、確率は 12/19 × 1/3 になります。
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