回転と変換の合成（三次元）

質問

１． ｘ＝３，ｙ＝４ を通り、z 軸に

平行な軸A の回りにθ回転さ 　　　　　ｒ00　　ｒ01　　ｒ02　　ｔｘ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ｒ10　　ｒ11　　ｒ12　　ｔｙ
せる変換の行列を書きなさい。 r20 r21 r22 tz
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 0 0 0 1
(同次座標形式で)

２． θ=90°の時、変換行列を示しなさい(数値で)。
３． 点（８，３，２０）は上記（問題２）の回転操作でどこに

移るか。

回答No.1

info22_

参考URLのアフィン変換をご覧ください。
1.
同次座標形式での行列を考えます。
(3,4,z)を(0,0,z)に平行移動する行列M1:
　M1=[[1,0,0,3],[0,1,0,4],[0,0,1,0],[0,0,0,1]]
z軸を中心に反時計回りに90°回転する行列M2:
　M2=[[cosθ,-sinθ,0,0],[sinθ,cosθ,0,0],[0,0,1,0],[0,0,0,1]]
(0,0,z)を(3,4,z)に平行移動する行列M3:
　M3=[[1,0,0,-3],[0,1,0,-4],[0,0,1,0],[0,0,0,1]]
とすると、回転軸をM1によりz軸に移動して、それをz軸の回りにθだけ反時計周りに回転し、その後、回転軸をM3によりもとに戻せば良いから、
求める行列Mは
M=M3M2M1
という行列の積によって求められる。行列の積を計算すると
M=[[cosθ,-sinθ,0,4sinθ-3cosθ+3],[sinθ,cosθ,0,-3sinθ-4cosθ+41],[0,0,1,0],[0,0,0,1]]
　=[[r00,r01,r02,tx],[r10,r11,r12,ty],[r20,r21,r22,tz],[0,0,0,1]]
となります。

２．
θ=90°とおくと
　M=[[r00,r01,r02,tx],[r10,r11,r12,ty],[r20,r21,r22,tz],[0,0,0,1]]
　 =[[0,-1,0,7],[1,0,0,1],[0,0,1,0],[0,0,0,1]]

３.
　X=M[[8],[3],[20],[1]]=[[4],[9],[20],[1]]
点(4,9,20)に移る。

参考URL：

http://www.wakayama-u.ac.jp/~tokoi/lecture/gg/ggbook03.pdf