ノイマン境界条件の球の拡散方程式の解析解について

質問

こんばんは。ノイマン境界条件の球の拡散方程式の解析解が必要なのですが、
WEBではなかなか見つかりません。

∂c/∂t=D/r^2*∂/∂r(r^2*∂c/∂r)
に対して、初期値c=c0、r=Rのとき∂c/∂r=a(定数)での
非定常のものなのです。

ヒントを含めましてよろしくお願いいたします。

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

変数分離型の解から出発します。

c=R(r)T(t)とおき

∂c/∂t=D/r^2*∂/∂r(r^2*∂c/∂r)

に代入する。以下拡散係数Dは定数とする。

RdT/dt=(DT/r^2)*d/dr(r^2*dR/dr)

(1/DT)dT/dt=(1/R)(1/r^2)d/dr(r^2*dR/dr)

変数分離ができたのでこの値をk(t,rによらない定数）とおくと

(1/DT)dT/dt=k (1)

(1/R)(1/r^2)d/dr(r^2*dR/dr)=k　　(2)

(1)より

ｄT/dt=kDT

解は

T=ce^(kDt) (3)

(2)より

d^2R/dr^2+(2/r)dR/dr-kR=0

k=1/p^2,r=puとおくと

d^2R/du^2+(2/u)dR/du-R=0

この解は変形球ベッセル関数(n=0)（url参照)

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%83%E3%82%BB%E3%83%AB%E9%96%A2%E6%95%B0

回答No.2

spring135

＃1です。

いくつかurlを見てみると私の用いたk<0として解いている例が多いようです。

拡散して希釈していくことを前提にしているのでしょうか。

ソースがあって一定の放出をしている場合は拡散によって閉空間の濃度は大きくなる場合もあるように思います。

ともあれ、球座標系におけるノイマン型境界地問題に触れたペーパーがありました。

参考URL：

http://www.gfd-dennou.org/arch/spmodel/1d-radial-u/diffusion/pub/au_diffusion.pdf

お礼

spring135さん

ありがとうございます。
おかげで大変助かりました。