高校物理（力学）の問題です。

質問

以下の問題です。解答がなく、困っています。

「高さ0.9mの机の端の点Sから質量1.0kgの小球Aを水平方向に投げ出したら、Sの真下の床の点Oから1.5mの点Pに落ちた。次にSに質量0.20kgの小球Bをおき、Aを、OPを含む鉛直面内の机の上の1点TからBに向けてはじめと同じ速度で滑らせたら、AはBをはねとばし、AとBは同時に床に落ちた。OPをx軸とし、これに垂直で水平面内に並行なy軸を取った時、Bの落下点Qの座標はx=0.48m、y=0.36mであった。Aの落下点Rのx,y座標を求めよ。」

0.9m=h、1.5m=lとおきました。

Aの初速度V0=l√(g/2h)まではOKと思いますが、
後半ABを衝突させてからの状況がそもそもよくわかりません。

Sから少し横にずれたところにAをおいて、Bをはじくんですよね。
でも「OPを含む鉛直面内の机の上の1点Tから」という表現がよくわからないし、
「OPに垂直で，水平面内に並行なy軸・・」？
水平面内に並行というのは、図の中の床面に並行な、ということですよね？
OPを含み紙面と直行する面がxy座標ということですよね・・？
SOをz軸として、xyz軸で考えるということでしょうか？
運動量保存則を使うと思うのですが．．．
AをTS方向からBにぶつけてなぜBが横に反れた軌道を描くのか．．．？？
混乱してしまいました。

根本的な勘違いなどしているかもしれないのですが、
どなたかご教授いただけますでしょうか。よろしくお願い致します。

回答No.2

htms42 · ベストアンサー

＞Aの落下位置の座標が(1.404,-0.072)
＞座標を求めるときに√(g/2h)は相殺されてh=0.9ｍは使いませんでした。
＞ 何がおかしいでしょうか。

これでいいと思います。
有効数字的には　１．４０，－０．０７が妥当なところではないでしょうか。
ｍｍまではわからないということです。

問題文中の数値の表現が有効数字的にはおかしいです。
Ｂの落下地点を０．４８ｍ、０．３６ｍとしているのですから最初のＡの落下地点までの距離も１．５ｍではなくて１．５０ｍとしておく必要があります。ｃｍの桁まではていねいに測っているという意味です。１．５ｍと書けば１０ｃｍ以下が怪しいという測定になってしまいます。荒すぎますいね。高さの０．９ｍはＡ，Ｂに共通ということだけでしか使っていませんので問題にはなりません。ただ同時に落下したという判断も測定によるのですから精度が問題になるでしょう。音で判断したとしたら０．１秒ぐらいまでは普通に違いが分かるようですから高さがある程度あればＡ，Ｂの落下が同時であるか、そうでないかの判断がその範囲で可能になるでしょう。０．９ｍという数値は使っていませんが１ｍ程度は高さがあったほうがいいということと普通に机の上から落としたというのに近い条件になっているということで実験条件の設定の妥当性を示しているものだと考えられます。（床に凸凹があってはいけないというのも当然要求されます。水平性はｃｍ以下で成り立っている必要があります。Ａ，Ｂの落下地点が離れていますから落下が同時であることを音で判断するのであれば水平性が大事です。）

ｃｍ以下を問題にするのはこういう実験では無理です。
パチンコ玉の直径が１ｃｍです。ビー玉だと少し大きいですね。パチンコ玉とそれよりも少し小さいガラス玉だと質量が約５倍違うというのは実現できそうです。
Ａ、Ｂの中心がずれた衝突をしています。Ａの進行方向はＡの中心（重心）の進む方向によって決まります。Ｂの中心はその線上から少しずれています。Ｂの落下地点を表す時はこのずれを考慮に入れないといけないはずですね。それを無視しているのですからｃｍがせいぜいだということにもつながってきます。

＞はね返り係数がマイナスになってしまいます・・。

運動エネルギーを計算すると１割ほど減っているのがわかります。
反発係数で表すのはうまくいかないようですね・・・（私もやってみましたが負になります）。
でも反発係数を求めよという問題にはなっていないのではないでしょうか。

反発係数は１次元での衝突について現象を整理するために導入された数値です。力の働く方向が進行方向と一致していますので非弾性効果を相対速度の変化の中に繰り込んでしまうことがうまくいったのです。
２次元衝突についてはそのままではあてはまりません。よく使われるのは衝突面に垂直な成分だけが反発係数にしたがって変化するというものです。壁に球がぶつかる場合に使われています。これは力が面に垂直な方向にだけ働くという仮定と同じです。今の問題でいうと弾性衝突であっても非弾性衝突であっても、Ａ，Ｂの形と配置を決めればＢの飛んでいく方向は変わらないというものです。形は球または円盤とします。力は中心を結ぶ線上に働きます。Ｂははじめ止まっているのですから衝突後に飛んでいく方向は力の方向です。弾性衝突か非弾性衝突かの違いはこの方向での速さの違いだけということになります
※Ｂの方向をこのように１つにしてもＡの飛んでいく方向は変わります。Ｂだけの速さの変化で反発係数を表すことはできません。
※この取り扱いが不十分であるのはｅ＝０での整合性が得られないということからも言えそうです。１次元の場合には合体して１つの物体になって元の運動方向に進むという結果の予測が可能になりました。２次元で合体した時の運動方向は明らかに上で考えた方向とは一致していません。合体は対象外ということになります。ｅ＝０でダメになるのであれば、ｅ＝０の近くでもダメになっているだろうという予測も成り立ちます。力が中心線方向にだけ働いているという仮定は成り立たなくなってしまうのです。

衝突の際に働く力がＡ，Ｂの重心を結ぶ線上以外の方向にも存在するのであれば、反発係数という一つの量の中にエネルギー保存からのずれを押し込んでしまうことはできなくなってしまいます。反発係数が負になってしまったというのは力が重心を結ぶ線上だけに働いているという仮定が破れていることを表しているのではないでしょうか。運動エネルギーの減少はいろんな原因が考えられます。１次元の運動で非弾性衝突が起こるような組み合わせの場合、「エネルギーは熱に移動した」と言ってしまいます。熱でなくても「熱に逃げた」という表現の中に押し込んでしまっているのです。変形や振動が原因であってもです。２つの物体のななめ衝突では必然的に大きさを問題にしなければいけなくなっています。質点して考えていいような場面からのずれが生じます。大きさや形を問題にしなければいけない場面は普通、高校では取り扱っていませんね。ななめ衝突ではそういうややこしい状況を考えなくてもいいように弾性衝突の場合だけを考えているというのが普通です。形は円または球です。（衝突が弾性的であるとしても四角と球とでは取り扱いがむつかしくなるというのもわかりますね。）

ななめ衝突で非弾性という場面で反発係数が使われている例では片方が床とか壁になっています。
どういう衝突をしたかによって運動が変わるということがないのが床、壁です。

２つの球の衝突のような場合で非弾性であればわずかな条件のちがいでその後の運動が大きくちがってきます。１つの量では表しきれなくなってしまうということでしょう。
今回、負であるということでおかしいということに気が付きました。でも正の数字が得られたからと言ってそれが意味を持つとは限らないということも言えますから、２体のななめ衝突では反発係数を使おうとしないほうがいいと思います。

お礼

htms42様

お礼が遅くなってしまい、申し訳ありません。
2日にわたり、とてもご丁寧にご回答くださり、本当にありがとうございます！
心より感謝いたします。。
色々と納得できました。本当に詳しくご説明してくださったので。。感動しています。

（また質問投稿してしまうことがあるかと思いますが、、
これからもよろしくお願い致します、というのはあまりに勝手で申し訳ないので、、
なかなか回答がつかなかった場合など、、よろしくお願い致します。）

ありがとうございました！

回答No.1

htms42

ｘｙ平面というのは床面上にとったものです。お考えの通りです。

ＡとＢの衝突はななめ衝突です。
Ａ、Ｂの中心を結ぶ線がＡの進行方向からずれているのです。
（同時に落下したということは衝突によって鉛直方向の速度変化は生じていないということを意味しています。球で半径が違っているとどうしても円直面内でのななめ衝突も起こってしまいます。質量が５倍違うのですから同じ半径の球を実現するのは材質的にむつかしくなります。円盤状の物体であるとするとそういう可能性はないものとするというのが可能になります。質量が５倍異なるというのも実現可能になります。）

運動量は二次元でベクトル的に考える必要があります。
運動量保存則を使います。

床に平行なＳを含む平面の中で衝突の直前、直後の速度を考えます。
直前
Ａ：Ｖｘｏ（＝？），Ｖｙｏ（＝０）
Ｂ：ｖｘｏ（＝０），ｖｙｏ（＝０）

直後
Ａ：Ｖｘ、Ｖｙ
Ｂ：ｖｘ、ｖｙ

Ｂは落下地点がわかっていますからｖｘ、ｖｙが決まります。
これを運動量保存則に入れます。
ｘ方向、ｙ方向と２つの式がありますのでＶｘ，Ｖｙが決まります。
Ａの落下地点はこのＶｘ，Ｖｙで決まります。
求まったＶｘ，Ｖｙ，ｖｘ，ｖｙを使うと弾性衝突であったかどうかも判定できます。

お礼

ご回答どうもありがとうございます！！

ベストアンサーとして解決済みにさせていただきたいのですが、
今さっそく計算してみたところ、
どこかでミスをしているような値になってしまいました。

後ほど改めて計算しますので、
答えを確認していただけませんでしょうか・・？
どうしても答えが合っていると確認できないと不安でして・・
申し訳ございません。

とりいそぎお礼だけ、失礼いたします。
ありがとうございました！

補足

見なおしたのですが・・

衝突後の速度(床に落ちるまで普遍)
A:Vx=1.404*√(g/2h)、Vy=-0.072*√(g/2h)
B:vx=0.48*√(g/2h)、vy=0.36*√(g/2h)

Aの落下位置の座標が(1.404,-0.072)
座標を求めるときに√(g/2h)は相殺されてh=0.9ｍは使いませんでした。
何がおかしいでしょうか。
はね返り係数がマイナスになってしまいます・・。
また、この場合はね返り係数はx軸方向とy軸方向で別々なのでしょうか。