角運動量＝重心の角運動量＋相対角運動量

質問

角運動量＝重心の角運動量＋相対角運動量
が成り立つことを教えてください。

回答No.2

noname#221368

#1です。

　回転中心を座標系の原点に取ります（原点位置はどこでもOKです）。物体内の1点Ｑの近傍の微小質量をdρで表し、ＤをＱの位置ベクトルとします。

　物体の重心の位置ベクトルをＲ，ＲからＱへの相対位置ベクトルをｒとします。同様に、重心速度をＶ，Ｒに対するＱの相対速度をｖとします。

　以下の計算は、Ｑの運動を、重心運動＋相対運動に分解してみた、という人間の意図の結果です。

　まずＱの位置ベクトルＤを、重心の位置ベクトルＲと、そこからの相対位置ベクトルｒで分解します。

　　Ｄ＝Ｒ＋ｒ　　　(1)

　同様にＤの速度dD/dtを、重心速度Ｖと、Ｒに対するＱの相対速度ｖで分解します。

　　dD/dt＝Ｖ＋ｖ　　　(2)

　Ｑの角運動量ベクトルdLの定義は以下です。×は外積，・はスカラー積（ふつうの掛け算）を表します。

　　dL＝Ｄ×dD/dt・dρ　　　(3)

　(1)，(2)を(3)に代入し、展開します。

　　dL＝Ｄ×dD/dt・dρ

　　　＝(Ｒ＋ｒ)×(Ｖ＋ｖ)・dρ

　　　＝Ｒ×Ｖ・dρ＋ｒ×ｖ・dρ＋Ｒ×ｖ・dρ＋ｒ×Ｖ・dρ　　　(4)

　物体の全運動量Ｌは、(4)の合計なので、(4)を物体の体積Ａで積分します。以下の∫の積分領域は、物体の体積Ａです。

　　Ｌ＝∫dL

　　　＝∫Ｒ×Ｖ・dρ＋∫ｒ×ｖ・dρ＋∫Ｒ×ｖ・dρ＋∫ｒ×Ｖ・dρ　　　(5)

1)　(5)の1項目
　ＲとＶは物体の重心とその速度なので、物体形状Ａに関する積分に関して定数です。Ｒは物体形状に対して決まるもので、内部位置には無関係です（当たり前ですよね(^^)）。従って、

　　∫Ｒ×Ｖ・dρ＝Ｒ×Ｖ・∫dρ

　　∫dρ＝Ｍ（物体の全質量）

なので、

　　∫Ｒ×Ｖ・dρ＝Ｒ×ＭＶ

となり、重心の角運動量になります（角運動量ベクトルの定義は、[位置ベクトル]×[運動量ベクトル]だから）。

2)　(5)の2項目

　　∫ｒ×ｖ・dρ

は、ｒが重心位置Ｒに対する物体の各点Ｑの相対位置ベクトルで、ｖ・dρがその相対運動量なので、角運動量ベクトルの定義よりｒ×ｖ・dρは、物体の各点Ｑの重心に対する相対角運動量です。それを∫で物体形状Ａについて合計したものなので、式の意味から、固有角運動量（相対角運動量）です。

　重心位置Ｒは物体形状Ａに対して一意なので、固有角運動量は回転中心の位置と無関係です。

3)　(5)の3項目
　(1)と同じ理由から、

　　　∫Ｒ×ｖ・dρ＝Ｒ×∫ｖ・dρ　（＝0となる）

と変形できます。∫ｖ・dρは、物体の重心に対する物体の全運動量ですが、重心に対して全体として物体は静止しているので、0になります（重心の数学的定義）。

4)　(5)の4項目
　(1)と同じ理由から、

　　　∫ｒ×Ｖ・dρ＝－Ｖ×∫ｒ・dρ　（＝0となる）

と変形できます。

　∫ｒ・dρ　はＡを物体の体積とすれば、（∫ｒ・dρ）／Ａ　が座標原点を物体の重心位置に取ったときの、物体の重心の定義そのものなので、そのような座標系では明らかに（∫ｒ・dρ）／Ａ＝0となり、∫ｒ・dρが0になります。

　以上より、(5)の3項目と4項目は0になり、式の意味から、

　　全角運動量＝重心の角運動量＋固有角運動量

を導けます。

回答No.1

noname#221368

ガリガリと式で計算すれば、角運動量＝重心の角運動量＋相対角運動量　になるんですけれど、注意すべきは、全角運動量は回転中心の位置依存だ、という事です。

　その影響は、重心の角運動量に入ってきます。それで相対角運動量の事をふつう、重心まわりの角運動量とか固有角運動量とか言います。全角運動量＝重心の角運動量＋固有角運動量の形に分解すると、固有角運動量は回転中心の位置に無関係になりますが、まぁ～、添付図を見て下さい。

　角運動量＝重心の角運動量＋相対角運動量　になってますよね？(^^)。

補足

具体的な計算方法を教えて頂きたいです。