高２の数学です

質問

・（ｘ²－２ｘ＋３）⁶の展開式でｘ⁴の係数を求めよ。
・次の等式を満たす実数ｘ，ｙの値を求めよ。
　（ｘ+２ｙ）+（ｘ－ｙ)ｉ＝－１＋２i

明日テストなんでお願いします

回答No.3

tetrahedron256 · ベストアンサー

以下で x^n というのは x を n 乗するという意味です

(x^2-2x+3)^6 という式で
a=x^2, b=-2x, c=3 とおくと (a+b+c)^6 とかける
これを展開すると (6!/(i!j!k!))×(a^i)(b^j)(c^k) (i,j,k は0以上の整数, i+j+k=6) という項の和をとった形になる (多項定理)
(a^i)(b^j)(c^k) (i,j,k は0以上の整数, i+j+k=6) という形のうち x^4 の形が出てくるのは a^2c^4, ab^2c^3, b^4c^2 の3つ
多項式 (a+b+c)^6 において,
a^2c^4 の係数は 6!/(2!4!)=15
ab^2c^3 の係数は 6!/(1!2!3!)=60
b^4c^2 の係数は 6!/(4!2!)=15
ここで
a^2c^4=81x^4, ab^2c^3=108x^4, b^4c^2=144x^4 であるから, 結局, x^4 の係数は
15×81+60×108+15×144=1215+6480+2160=9855

(x+2y)+(x-y)i=-1+2i より x+2y=-1, x-y=2 (複素数の等式 a+bi=c+di (a,b,c,d は実数) は a=c, b=d の意味であることに注意)
これを解いて x=1, y=-1

お礼

回答ありがとうございました。
すごく解り易かったのでバッチリ理解できました。

本当にありがとうございました！
明日のテストがんばります！

回答No.2

HIROWI02

分配法則を使って括弧を外すなんて普通はしません。

時間を食うだけです。

＞＞（ｘ²－２ｘ＋３）⁶の展開式でｘ⁴の係数を求めよ。

{6!/(p!q!r!)}(x^2p)×(-2x)^q×3^r………(1)

※６＝p+q+r……(2)

よって

(1)の(x^2p)×(-2x)^q×3^r　の部分がｘ⁴になるには

(p,q,r)＝(0,4,2)と(1,2,3)と(2,0,4)の３通りあるので

(1)の式に(0,4,2)と(1,2,3)と(2,0,4)をそれぞれ代入し加算します。

つまり

{6!/(4!2!)}(-2x)^4×3^2

　　　　　＋

{6!/(1!2!3!)}(x^2)×(-2x)^2×3^3　

　　　　　＋

{6!/(2!4!)}(x^4)×3^4

をしますと

でｘ⁴の係数が出ます。

＞＞次の等式を満たす実数ｘ，ｙの値を求めよ。
　（ｘ+２ｙ）+（ｘ－ｙ)ｉ＝－１＋２i

ｘ+２ｙ=-1
ｘ－ｙ=2

を解くと

ｘ=1, y=-1になります。

＞＞(2+i)/(3-2i)

は分母に共役複素数を乗算します。

(2+i)(3+2i)/(3-2i)(3+2i)＝4+7i/13

よって

a+bi　は4/13＋(7/13)i

と表せます。

お礼

回答ありがとうございました。
１ばんの問題で
・ｐがなぜ（ｘ²ｐ）になるのか
・代入式の３つ目の｛6!/(2!4!)}x⁴×3⁴でなぜ３⁴になるのか
がわからないのですが
教えていただけたらうれしいです

回答No.1

alice_44

(1)
考え込んでいるヒマに、手を動かしたほうがよいです。
分配法則を使って、地道に括弧を開きましょう。

(2)
与えられた式を i についての多項式とでも考えて、
(x,yの実係数多項式) + (x,yの実係数多項式)i = 0
の形に変形しましょう。
そして、複素数が =0 になる条件を思い出す。

テスト、がんばってくださいね。