簡単な数学の問題

質問

写真ですが…

[問題]
4点,Ａ,Ｂ,Ｃ,Ｄが同じ円周上にあるかどうか

[答え]
ない

なんですが、
∠BAC＝53°で
∠BDC＝54°なんですが
それだけで円周上にないと言っていいんですか？

もし∠ADB＝∠ACBだったらどうするんですか？
でも∠ADB＝∠ACBって求められないですよね??

回答No.1

j-mini27 · ベストアンサー

円の性質の1つとして、
同じ孤に対する円周角・中心角が常に等しいというものがあります。
逆に言えば、同じ孤に対する円周角が違えば、それは同一の円ではないと言い切れます。

∠BACと∠BDCはともに孤BCに対する円周角（実際はどちらかは外接円に届いてませんが…）なのに
角度が違うわけです。
そうすると、どちらかは円周角ではないことになります。
つまり4点A、B、C、Dは同じ円周上にはないと言えることになります。

お礼

なるほど!!
実は自分受験生なんですが…
なんか根本的に数学を理解出来ていないようです(笑)

丁寧にありがとうございます。

回答No.3

info22_

>[答え]
>ない
合ってます。

>∠BAC＝53°で
>∠BDC＝54°なんですが
>それだけで円周上にないと言っていいんですか？
その通り。
円周上にないと言っていいです。

>もし∠ADB＝∠ACBだったらどうするんですか？
∠ADB≠∠ACBですから∠ADB＝∠ACBは成り立ちません。

[証明]
△ABCの外接円Ｏの半径をR、△ADCの外接円Ｃの半径をrとすれば
∠BAC=53°,∠BDC=54°より
正弦定理から
BC/sin53°=2R,BC/sin54°=2r
R/r=sin54°/sin53°＞1
∴R＞r

CDの延長と外接円Ｏとの交点をEとすると
R＞rよりEは辺CDのDを超える延長線上にある。言い換えれば頂点Dは円Ｏの内部にある。
四角ABCEは円Ｏに内接するから∠ADB＞∠AEB=∠ACB
となって　
∠ADB≠∠ACB
（証明終り）

お礼

円周上にないと言っていいですか!!

ありがとうございます(笑)

回答No.2

noname#189742

対角の和が180°ならば四角は円周上にあります。

四角形の内角の和は360°ですから、一組の対角の和が180°なら、自然に残りの対角も180°になりますから、円周上にあります。