複素数の偶奇性について

質問

岩手県の高専生です。

素朴な疑問なのですが、複素数の形式であらわされる数には
偶数と奇数の分類があるのですか？

教えてほしいです。

回答No.3

ramayana · ベストアンサー

整数の概念を、複素数の一部にまで拡張することができて、その世界では、２で割り切れるかどうかを議論することができます。

一般に、下の式のような、整数を係数とする n 次方程式であって、X^n の係数が1のものの根も、「整数」と言うことがあります。

X^n + a[n-1]X^(n-1) + ・・・ + a[1]X + a[0] = 0
（ a[n-1], …, a[1], a[0] は整数 ）

このように拡張された意味の整数のことを、普通の整数と区別するために「代数的整数」とも言います。これに対し、普通の整数のことを「有理整数」とも言います。

例えば、i や 1 + 3^(1/2)i は、それぞれ X^2 + 1 = 0 と　X^2 - 2X + 4 = 0 の根なので、代数的整数です。で、これらが 2 で割り切れるかというと、i/2 が整数でないので、 i は、 2 で割り切れません。一方、(1 + 3^(1/2)i )/2 が整数なので、1 + 3^(1/2)i は、2 で割り切れます。

多くの数学者が代数的整数について研究してきました。２次方程式の根で表わされる代数的整数については、ガウスが19世紀初めに詳細に調べています。その後、大いに発展し、日本人数学者も優れた業績を残しています。

お礼

なるほど！
厳密な解説までつけていただいてありがとうございます！

回答No.2

noname#212058

そもそも奇数の定義は「2で割り切れない整数のこと」
なので、整数ではない数に適用できません。

それを踏まえた上で、『奇数・偶数の数学的性質に似た
複素数』 というのは、パズル的な要素で面白い命題ですね。

google で検索してみると、
『 1+i の複素整数倍になる数を複素偶数、
　それ以外を複素奇数』
とすると、奇数偶数と似たような性質が観測できるようです。

http://mikaka.org/~kana/dl/pdf/pdf-fukuso.pdf
(3ページあたりから話題が出てます)

http://www.tsuyama-ct.ac.jp/matsuda/mathexam/column01.html
(真ん中らへんに話題が出てます)

お礼

ありがとうございます！！
僕はこのことについて知りたかったんです！！
助かりました！

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri）

すでに実数ではそういう分類はできないので、ましてや複素数にはそういう分類はないです。

お礼

遅くなってすいません！
確かにそうですよね…
ありがとうございます！