ベクトル解析の問題

質問

今独学でベクトル解析を勉強しているのですが、問題集のある設問で躓いてしまいました。
後ろの方に答えは載っているのですが、肝心の導出手順は省略されていました。
自分の勉強不足だと思い、何度も本を見返して解き直してみたのですが、どうしてもテキストの答えと一致しませんでした。
なので、どなたか解法を示していただけないでしょうか？

問：曲面x=u+v y=u-v z=2uv (u^2+v^2≦1)の面積を求めよ。

答え：(2π/3)(3√3-1)

回答よろしくお願いします。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

極普通に、公式どおり計算すればよい。
p = (x,y,z) と置いて、
面積 = ∫∫[u^2+v^2≦1] |(∂p/∂u)×(∂p/∂v)| dudv.
右辺の × は、外積を表す。

p = (u+v, u-v, 2uv) より
∂p/∂u = (1, 1, 2v),
∂p/∂v = (1, -1, 2u) だから、
(∂p/∂u)×(∂p/∂v) = (2u+2v, 2v-2u, -2) であり、
長さは |(∂p/∂u)×(∂p/∂v)| = 2√(2u^2+2v^2+1)。

(u, v) = r(cosθ, sinθ) で置換積分すれば、
面積 = ∫∫[0≦r≦1, 0≦θ＜2π] 2√(2r^2+1) rdθdr
= {∫[0≦θ＜2π]dθ}{∫[0≦r≦1] 2√(2r^2+1) rdr}
= {2π}{∫[0≦t≦1] √(2t+1) tdt}　（t=r^2 で置換した）
= 2π [(1/3)(2t+1)^(3/2)]_(t=0→1)
= 2π(1/3){(2・1+1)^(3/2) - (2・0+1)^(3/2)}
= (2π/3)(3√3 - 1).

お礼

回答ありがとうございます！
前の方のページに載っていた方法を応用して
解くだけでした・・・；
自分の応用力の無さに情けなくなります。
もっと勉強しようと思いました。

回答No.2

ereserve67

教科書によく載っている標準的な公式：xy平面上の領域Dを底とする直柱が曲面z=f(x,y)から切り取る部分の面積Sは次の式で与えられる．

（☆）S=∬_D√(f_x^2+f_y^2+1)dxdy

これにあわせるため，u,vのパラメータを消去しましょう．

u=(1/2)(x+y)
v=(1/2)(x-y)

よりu^2+v^2≦1は

(1/2)^2(x+y)^2+(1/2)^2(x-y)^2=(2x^2+2y^2)/4=(x^2+y^2)/2≦1

すなわちxy平面上の領域

D：x^2+y^2≦2

を表す．また，

z=2uv=2(1/4)(x^2-y^2)=(x^2-y^2)/2

となるから，

f_x=x
f_y=-y

よって☆により

S=∬_D√(x^2+y^2+1)dxdy

ここで極座標へ変数変換

x=rcosθ
y=rsinθ

すると

D：0≦r≦√2,0≦θ≦2π

dxdy=rdrdθ

√(x^2+y^2+1)=√(r^2+1)

となるから

S=∫_0^{√2}∫_0^{2π}√(r^2+1)rdrdθ

=2π∫_0^{√2}√(r^2+1)rdr

=π∫_0^{√2}√(r^2+1)(r^2+1)'dr

=π∫_1^3√tdt(t=r^2+1)

=π∫_1^3t^{1/2}dt

=π[(2/3)t^{3/2}]_1^3

=(2π/3)(3√3-1)

お礼

とても丁寧な回答ありがとうございました！
是非とも参考にさせていただきます。

回答No.1

info22_

x=u+v,y=u-vより　u=(x+y)/2, v=(x-y)/2
z=2uv=(x^2-y^2)/2
√(1+(∂z/∂x)^2+(∂z/∂y)^2)dxdy=√(1+x^2+y^2)dxdy
=√(1+(u+v)^2+(u-v)^2)|∂(x,y)/∂(u,v)|dudv
=√(1+2u^2+2v^2) 2dudv, D={(u,v)|u^2+v^2≦1}

S=∫∫{x^2+y^2≦2} √(1+(∂z/∂x)^2+(∂z/∂y)^2)dxdy
=∫∫{x^2+y^2≦2} √(1+x^2+y^2)dxdy
=∫∫_D √(1+2u^2+2v^2) 2dudv, D={(u,v)|u^2+v^2≦1}
u=rcos(t),v=rsin(t)とおくと
√(1+2u^2+2v^2) 2dudv=√(1+2r^2) 2rdrdt,
E={(r,t)|0≦t≦2π,0≦r≦1} より
S=∫∫_E 2r√(1+2r^2) drdt
=∫[0→2π]dt∫[0→1] 2r√(1+2r^2) dr
=2π[(1+2r^2)^(3/2)/3][0→1]
=(2π/3)(3√3 -1)

お礼

早くに回答して下さってありがとうございました！
本当に助かりました！