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重積分・累次積分に関する質問
static_putsの回答
積分の計算はできるでしょうか。 まず、第1問についてですが、範囲は 1/x≦y≦x 1≦x≦２ ですから、単純に累次積分する(図形を無視する)のが良いでしょう。 ∫_a^bで、aからbまでの積分を表すものとします。 単純に範囲を当てはめると ∫_1^2 ∫_(1/x)^x (1/x^2) dy dx という式になるので、これを計算します。まず、内側の(yに関する)積分です。 ∫_(1/x)^x (1/x^2) dy=[y/x^2]_(1/x)^x です(yで積分していますからね！) 代入して計算すると 1/x-1/x^3 となります。 これをさらにxで積分。 ∫_1^2 (1/x-1/x^3) dx を計算するわけです。 1/xの積分は覚えておいて下さい。ln(x)です(ln:natural logarithm, eを底とした対数) 1/x^3の積分はx^(-3)と見れば簡単で、-1/(2x^2)となります。 よって、 ∫_1^2 (1/x-1/x^3) dx = [ln(x)+1/(2x^2)]_1^2 =ln(2)+1/8-(ln(1)+1/2) =ln(2)-3/8 となります。 以上、第1問でした。 第2問は範囲を見てみますと x^2+y^2≦a^2：円領域 x≧0（a>0）：右側半分 ですから、半円の領域であると言う事が分かると思います。 したがって、極座標を用いると 0<=r<=a -π/2<=θ<=π/2 です。(極座標については後に補遺をつけておきます) x=rcosθ,y=rsinθであることを考えて変数変換しましょう。 ∫∫Dxy^2dxdy =∫∫D r^4cosθsin^2θ drdθ =∫_0^a ∫_(-π/2)^(π/2) r^4cosθsin^2θ dθ dr =∫_(-π/2)^(π/2) cosθsin^2θ dθ ∫_0^a r^4 dr となりますね。 この積分を計算しましょう。まずθについてですが ∫_(-π/2)^(π/2) cosθsin^2θ dθ =∫_(-π/2)^(π/2) sin2θsinθ/2 dθ (倍角公式sin2θ=2sinθcosθを利用) =∫_(-π/2)^(π/2) -(cos3θ-cosθ)/4 dθ(積和の公式) =1/4 [sinθ-sin3θ/3]_(-π/2)^(π/2) =1/4(1-(-1/3)-(-1-1/3))=2/3 rについてですが ∫_0^a r^4 dr=[(r^5)/5]_0^a =a^5/5 以上より、 2a^5/15 となります。 一応、ざっとした計算を示しましたが、どうでしょうか。 理解できないところがある場合、教科書に戻られると良いと思いますよ。 ※ 極座標について(補遺) 極座標は原点からの距離rと、始線(通常x軸の正の側)からの回転角θによって座標を表す方法です。二次元直行座標とは次のような関係があります。 r=sqrt(x^2+y^2) (sqrt:√) θ=tan^(-1) (y/x) 逆に書けば x=rcosθ y=rsinθ という関係になります。 一般に dxdy=rdrdθ が成立するので、変数変換の際にはこの公式を用います。
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お礼
皆様、わかりやすく素早い回答ありがとうございました。 反応が遅くなってしまってすいません。 とても助かりました！ どれもわかりやすかったのですが、一番はやく回答をくださった方をベストアンサーにしたいと思います。 簡単な微分積分ならできるのですが無理関数・円がまじるとまったくわかりません…。 参考書を読んでもよくわからないことが多いです。 やはりまだまだ勉強不足だとわかったので、これからもここで質問させていただくかもしれませんが、 もしよろしければその時はまたよろしくお願いします。