期待値

質問

さいころ２個を投げて２つのさいころの目が(1,1)(2,2)…(6,6)のように同じ目の場合は600円，目の和が奇数の場合は300円，その他の場合は60円もらう約束でさいころを投げるとき、この人の期待金額を求めよ。

という問題です。

期待値の定義を見ても理解できなかったので、やってみていただけると嬉しいです(>_<)

回答No.3

yyssaa

この場合の期待値は、(出た目で貰える金額)×(その目が出る確率)
の合計です。
(1,1)(2,2)…(6,6)のように同じ目が出る確率は1/6
目の和が奇数になるのは1,3,5と2,4,6の組合せの9通りの2倍で
18通りあるから、その確率は18/36=1/2
その他の場合の確率は1-(1/6)-(1/2)=1/3
従って期待値は600*(1/6)+300*(1/2)+60*(1/3)=270(円）・・答え

回答No.2

Peechyan

期待値を求めるには、
[1] 賞金をもらえる確率を賞金額ごとに計算します。これを確率分布表といいます。
[2] そして、賞金額×それぞれの確率を足し合わせます。
では、この方針に基づいてやってみましょうか。。

[1] 賞金をもらえる確率を賞金額ごとに計算し、確率分布表を算出する。
(a)　まずは全部の組み合わせを計算します。これは確率の分母に用います。
　　サイコロ×２[個]ですから、６[通り]×６[通り]＝３６[通り]になります。
(b)　次に、同じ目の出る組み合わせを計算します。
　　　これは、(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)の６[通り]になります。
　　　よって、同じ目の出る確率は６[通り]/３６[通り]となります。
(c)　そして、目の和が奇数になる組み合わせを計算します。
　　　目の和の合計については、{3, 5, 7, 9, 11}がありますね。
　■　目の和が３になる組み合わせ：
　　これは(1,2), (2,1)の組み合わせがあります。よって２[通り]
　■　目の和が５になる組み合わせ：
　　これは(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)の組み合わせがあります。よって４[通り]
　■　目の和が７になる組み合わせ：
　　これは(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)の組み合わせがあります。よって６[通り]
　■　目の和が９になる組み合わせ：
　　これは(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)の組み合わせがあります。よって４[通り]
　■　目の和が１１になる組み合わせ：
　　これは(5,6),(6,5)の組み合わせがあります。よって２[通り]

　これらの数字を足し合わせると目の和が奇数になる組み合わせが計算できます。
　N(目の和が３)＋N(目の和が５)＋N(目の和が７)＋N(目の和が９)＋N(目の和が１１)
　=2+4+6+4+2=１８[通り]

　よって、目の和が奇数になる確率は１８[通り]/３６[通り]となります。

(d)　その他(=目の和が同じ目でもなく、なおかつ、奇数にもならない)の組み合わせを計算します。
　これは、目の和が偶数の中で、しかも同じ目でもない場合になります。
　これは、(1,3),(1,5),(2,4),(2,6),(3,1),(3,5),(4,2),(4,6),(5,1),(5,3),(6,2),(6,4)の１２[通り]になります。

　＊　ここで、全ての組み合わせが正しく書き出されているか確認してみましょう。
　検算には、余事象の考え方を持ちいます。

　N(その他)=N(全部)－｛N(同じ目)＋N(目の和が奇数)｝
　=３６[通り]－(６[通り]＋１８[通り])=１２[通り]。
　どうやらあっているようですね。

　よって、目の和が同じ目でもなく、かつ、奇数にもならない確率は１２[通り]/３６[通り]となります。

[2] 賞金額×それぞれの確率を足し合わせて期待値を算出する。
　賞金額：　確率
　600[円]：　6/36
　300[円]：　18/36
　60[円]： 　12/36

　期待金額を算出します。
　(600[円]×6/36)＋(300[円]×18/36)＋(60[円]×12/36)
　=100[円]＋150[円]＋20[円]=270[円]

　よって、この場合の期待金額は２７０[円]になる。

期待金額は、くじなどを引いた場合に、どれだけの利益が得られるか、確率的に計算するものです。くじの値段と期待金額が近ければ、あまり外れはないと考えていいです。逆に宝くじなどはくじの値段に比べて、期待金額は小さいですが、もし当たった場合、大きい利益が得られるので、ギャンブル性が高まります。私はやらないですけどね。

回答No.1

fushigichan

こんにちは。
やってみます。

まず２つのさいころの目の出方は、６×６＝３６とおり。

(1,1)(2,2)~(6,6)
となるのは、６とおりなので、このぞろ目の確率は６/３６ですね。

次に、目の和が奇数となるのは
（奇数、偶数）または
（偶数、奇数）の組み合わせしかないので、それぞれ

３×３＝９とおり
３×３＝９とおり
あわせて、奇数となる場合の数は１８とおりですから、この確率は１８/３６となります。

最後に、残りの場合の数は
全体３６から引けばいいですから、

３６－６－１８＝１２とおり
となりますから、このときの確率は　１２/３６

期待値とは、それぞれの確率にそれぞれの金額をかけたものの和になりますので

６００×６/３６　＋３００×１８/３６　＋６０×１２/３６　＝２７０

となり、２７０円になると思います。
意外にもらえますね＾＾
でも一番多いのが奇数の場合で、３００円もらえるのだから、こんなものでしょうか。

参考までに期待値の求め方のページがあったので乗せておきますね。
ちょっと文字がややこしそうですが、かけたものを足す、というのがわかればと思って＾＾

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/kakuritu/kakuritu/henkan-tex.cgi?target=/math/category/kakuritu/kakuritu/kitaiti-no-teigi.html

参考になればうれしいです。