[数学]平方完成を教えて下さい＞＜

質問

f(x)=(x＋a)^2+t^2x+t^4=x^2+(2a+t^2)x+a^2+t^4
以降の平方完成を1から省かずに細かく教えて下さいm(_ _)m

ちなみに、問題は次のとおりです。
aを実数の定数、tを実数とし、xの2次関数f(x) = (x＋a)^2 ＋ t^2x ＋ t^4の最小値をg(t)とするとき、g(t)を求めよ。
　tが実数の範囲を動くとする。このとき、g(t)の最小値とそのときのtの値を求めよ。

回答No.2

KEIS050162 · ベストアンサー

平方完成は、
ｆ（ｘ）　＝　ａｘ＾２＋ｂｘ＋ｃ
の形を、
ｆ（ｘ）　＝　ａ（ｘ＋ｐ）＋ｑ
の形に変形するものですので、取りあえず定数項　ａ＾２　＋　ｔ＾４　は　放っておきます。

ｆ（ｘ）　＝　ｘ＾２　＋　（２ａ＋ｔ＾２）ｘ　　　　　　　　＋　ａ＾２＋ｔ＾４

（ｘ＋ｐ）＾２　＝　ｘ＾２　＋　２ｐ　＋　ｐ＾２　なのですから、ｘの一次の係数の１／２　を考え、次の様に変形します。

ｆ（ｘ）　＝　｛ｘ　＋　（２ａ＋ｔ＾２）／２　｝　＾２　　…　つづく

ここで　ｐ＾２　の項が余分なので、これを引きます。

ｆ（ｘ）　＝　｛ｘ　＋　（２ａ＋ｔ＾２）／２　｝　＾２　　－　｛（２ａ＋ｔ＾２）／２｝＾２　　…　つづく

放っておいた定数項を忘れずに、後に続けます。

ｆ（ｘ）　＝　｛ｘ　＋　（２ａ＋ｔ＾２）／２　｝　＾２　　－　｛（２ａ＋ｔ＾２）／２｝＾２　　＋　ａ＾２＋ｔ＾４

あとは、後ろの定数項の部分をｔの関数の形に整理して、ｇ（ｔ）＝定数項　の形にすればＯＫです。
ｘ＾２の係数が正なので、最小値は平方完成した定数項の部分、即ちｇ（ｔ）になります。

ｇ（ｔ）　＝　－　｛（２ａ＋ｔ＾２）／２｝＾２　　＋　ａ＾２＋ｔ＾４　（整理してくださいね）

もしくは、

ｆ（ｘ）　＝　ｘ＾２　＋　ｋｘ　＋　ｍ　とでもおいて、これを上記の様に平方完成した後、

ｋ　＝　（２ａ＋ｔ＾２）
ｍ　＝　ａ＾２＋ｔ＾４

と代入して展開した方が間違いが少ないかも知れません。