命題の真偽判定について

質問

たとえば「カラスは黒い」という命題の真偽は、すべてのカラスについてその色を調べることで判定できると思われます。すべて黒であれば真であり、黒以外のものがあれば偽といえるでしょう。しかし、実際には、すべてのカラスを調べることは不可能ですので、この命題の真偽を決定することは不可能だと思われます。
　では、「4の倍数は2の倍数である」という命題の真偽はどのように判定すればいいのでしょうか。カラスの色と同じ判定方法でしょうか。それとも、別な判定方法があるのでしょうか。
　ご意見お願いします。

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

便宜上、話を自然数に限定することにします。
4の倍数は、任意の自然数nを用いて、4nと表わすことができます。
このとき、
4n = 2 × 2n = 2m
と表わすことができます。2mとはすなわち2の倍数のことですから、
命題「4の倍数は2の倍数である」は真であることが証明できました。

お礼

補足に書いたことは、実は、「お礼」ですよね。はじめての投稿で要領がよくわからなくてすみません。
あらためてお礼いたします。

補足

さっそくご意見ありがとうございます。
つまり、この命題の真偽の判定方法は、「証明できるかどうか」ということですね。
カラスの場合の真偽の判定方法とは異なるように思いますが、
「証明できる」ということが、なぜ、真であるということになるのでしょうか。

回答No.6

alice_44

なぜ証明できると真かというと…根拠は無いですね。しかし、
自然数論では偽な命題を証明することはできないと信じられています。
数学としては、そう仮定して話を始める…ということだと思います。
自然数論を含む無矛盾な論理系では、その論理系の無矛盾性を証明できない
ことが、証明されていたような気がしますが？

お礼

ご意見ありがとうございます。
数学では、証明できたものは真だという立場で話を始める、ということで、非常に明快なご意見ですね。
「まあ、それが数学さ」ということでしょうか。大変参考になりました。
後半の「自然数論を含む・・・」の部分は、難しくて関連がよくわかりませんでした。

回答No.5

graphaffine

>「カラスは黒い」という命題の真偽は

何を以てこれを命題だと思われたのでしょう。
例えば、黒いというのはどんな状態ですか。病気で変色したカラスは？突然変異で
色が変わったら？
数学で使う言葉は意味が明確なものに限られますので、これを命題と考える場合はカラスの意味や黒いということの意味をはっきりさせる必要が有ります。
例えば、時間などは数学的な意味が明確でないので、数学では扱わない言葉です。

お礼

ご意見ありがとうございます。
「黒い」という状態は特に他の言い方をしなくても、多くの人がわかると思います。
といいますか、「黒い」ということばの意味を説明することは不可能だと思います。
同じく「カラスは黒い」という主張も限りなく明確であり、つまり、「カラス」と
いう概念は「黒い」という概念に包含されるということで、単純に真偽を問えるから、
命題であると考えました。病気や突然変異は、「カラスは黒い」という主張をあいまい
にする要因ではないと思います。
「数学で使う言葉は意味が明確なものに限られます」とおっしゃられています。
数学に限らず、使う言葉の意味を明確にするために、また、新たな言葉を使う、
ということを繰り返していくと、最後にはこれ以上説明できない言葉に到達する
と思います。明らかにこの最終的な言葉は「無意味」です。そうしますと、意味の明確さ
を追求していくと、結局、数学的な主張は、無意味な言葉の羅列、ということになり、
真偽を問うことはできない、つまり、数学の命題というものは存在しないという結論に
なるのかな、と思いました。

回答No.4

178-tall

ひと言でいえば、ポイントは「悉皆検証 (exaustive verification) 」の可能性の有無。

おっしゃるように、現実世界のカラスの場合は無し。
閉じた系に収まらず、際限のない作業になるから。

倍数の場合は、「整数モデル」で検証可能。
「整数モデル」は、いわば「バーチャル・リアリティ」の閉じた系。

お礼

ご意見ありがとうございます。
「悉皆検証 (exaustive verification) 」ということばは始めて聞きました。
検証対象の全体からなる「系」というものがあって、系に含まれる要素（カラス
あるいは4の倍数）が無数にあっても、「閉じて」いれば、全体として真偽が
検証可能である、というご意見と解釈しました。
私にとっては、まったく新しい考え方ですので、もう少し考えてみます。

回答No.3

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

4の倍数⊂2の倍数であるので、4の倍数⇒2の倍数となる。
4の倍数の方が真なら、4の倍数は2の倍数に含まれているから4の倍数⇒2の倍数が成り立つ。
逆に4の倍数が偽であったなら、その数は2の倍数かどうかは分からない。

つまり、4の倍数⊂2の倍数を示せれば4の倍数⇒2の倍数は真である事がわかるが、偽である事は証明出来ない。

お礼

補足に書いたことは、実は、「お礼」ですよね。はじめての投稿で要領がよくわからなくてすみません。
あらためてお礼いたします。

補足

ご意見ありがとうございます。
「p(x)⇒q(x)」という形式と解釈できる命題は、「p(x)の真理集合⊆q(x)の真理集合」
のときに真である、というのが真偽の判定方法だという主張だと思います。
確かにカラスの場合の真偽判定もこの考え方に沿っているとも思えます。
実際「⊆」を示すには、どのようにすればいいのでしょうか。

回答No.2

ereserve67

変数や厳密な式変形などを使います．

(証)nを整数として，任意の4の倍数は4nとかける．4n=2(2n)であり，2nは整数なので4nは2の倍数である．（終）

n=0,±1,±2,±3,・・・は一つの文字ですべての整数の値をとることができます．「・・・」の部分は無限に続くから書けないのですが，論理的にnはすべての整数を動くと考えて良いのです．したがって，4nはすべての4の倍数を動くと考えて良いのです．

nがすべての整数値をとるかどうかを調べられるのか，4n=2(2n)は本当に正しいのか，と言われると説明するのに困ってしまいます．

まあ，数学は論理の世界なのでいろいろ考えるといくつも難しい問題がでてきます．論理を考えすぎて生活に困ってしまうようなら，数学で便利なところだけを使うなどといった態度が精神的にも健康かもしれません．

お礼

補足に書いたことは、実は、「お礼」ですよね。はじめての投稿で要領がよくわからなくてすみません。
あらためてお礼いたします。

補足

ご意見ありがとうございます。
実は、「数学は論理の世界なのでいろいろ考えるといくつも難しい問題がでてきます」
と私も考えたところで、数学が論理の世界なら、数学の命題の真偽とはどのように判定するのか、
ということがわからなくなり、このような問題が発生しました。