指数・対数 基本問題

質問

問題:aは正の定数で、a≠1とする。
次のそれぞれの場合について、不等式a^2x+3a^x-4>0を解け。
(1)a>1のとき。
(2)0<a<1のとき。

どなたか解いて下さい、お願いします！
できるだけ分かりやすく解説お願いします(>_<)

回答No.1

suko22 · ベストアンサー

(1)a>1のとき
　a^x=t（ただしt>0＠a>0のときはa^xはかならず正の実数になるから）と置くと与式は、
　t^2+3t-4>0　となる。
　(t-1)(t+4)>0
t<-4,1<t
　この不等式はt>0でのみ成り立つので、上式と共通部分をとって、
　t>1
　よってa^x>1
a^x>a^0・・・※1
a>0なので指数部分を比較してx>0・・・答え

(2)0<a<1のとき
　a^x=t（ただしt>0＠a>0のときはa^xはかならず正の実数になるから）と置くと与式は、
　t^2+3t-4>0　となる。
　(t-1)(t+4)>0
t<-4,1<t
　この不等式はt>0でのみ成り立つので、上式と共通部分をとって、
　t>1
　よってa^x>1
a^x>a^0・・・※2
0<a<1なので指数部分を比較してx<0・・・答え

(1)と(2)の違いは※1と※2の処理の違いだけです。
※1はa>0という条件があります。
　たとえばa=3とすると 3^x>3^0となります。・・・※3
　3^xはxが大きくなればなるほど3^xもどんどん大きくなるので、
　指数部分を比較したときに不等号の向きは変わらずにx>0となります。

※2は0<a<1という条件があります。
　たとえばa=1/3とすると(1/3)^x>(1/3)^0となります。・・・※4
　(1/3)^xはxの値が大きくなればなるほど小さくなっていきます。
だから指数部分を比較したときには不等号が逆になってx<0となります。

xに実際に-3,-2,-1,0,1,2,3などを※3や※4に入れて計算してみると上記のことがわかると思います。

お礼

解説ありがとございます！
詳しい説明でよく理解できました(*^^*)

回答No.2

ferien

＞問題:aは正の定数で、a≠1とする。
＞次のそれぞれの場合について、不等式a^2x+3a^x-4>0を解け。
（ａ^x）^2＋３ａ^x－４＞０
ａ^x＝ｔ＞０とおくと、
ｔ^2＋３ｔ－４＝（ｔ＋４）（ｔ－１）＞０より、
ｔ＜－４，１＜ｔ　０＜ｔだから、１＜ｔ
よって、１＜ａ^xより、ａ^0＜ａ^x　
＞(1)a>1のとき。
ａ^xは、単調増加だから、ａ^0＜ａ^xのとき、０＜ｘ（ｘ＞０）
＞(2)0<a<1のとき。
ａ^xは、単調減少だから、ａ^0＜ａ^xのとき、０＞ｘ（ｘ＜０）

指数関数について、教科書などで確認して下さい。

お礼

解説ありがとございます！