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数学I（二次方程式）
oguro-の回答
設問はｍを定めて、共通解を求めよ。であって、条件を満たすｍを全て書き出せ。とはなっていないので、どちらか一方を答えればよいはず。両方書かないと×なら、それは設問が悪い。 2次方程式の基本は因数分解です。 x^2+2x+m=0 mがよく分からないので、ここでは因数分解すると (x+a)(x+b)=0 とおいてみましょう。 ab=m (1) a+b=2 (2) ですね。 もう１つの式も同様ですが、共通解を持つのが条件なので、共通解を-aとすると、 x^2+3x+2m=0 を因数分解して、 (x+a)(x+c)=0 のようになると置きます。 ac=2m (3) a+c=3 (4) ですね。 (1)(3)式から c=2b これを (4)式に代入し、(2)式を引くと b=1 あとは芋づる式に a=1、c=2、m=1 とわかります。 つまり、m=1、共通解-a=-1 これが青の波線部の途中の計算式です。 では、そもそもこの方程式のグラフはどうなっているか？ それを考えれば、答えが2個あることも見えてきます。 x^2+2x+m=0 ・・・(5) この式はx(x+2)=-m と書き直すことができ、y=-mとの交点がx=0,-2であることを示しています。 x^2+3x+2m=0 ・・・(6) の式も同様に、y=-2mとの交点が、x=0,-3であるようなグラフです。 どちらも、x^2の係数は1で、これは下に凸の放物線のグラフです。 絵に描くとわかりますが、(5)のグラフが(6)のグラフより完全に上にあるとき、この２つのグラフに交点はなく、方程式の上では共通解なし、となります。 共通解の数を場合わけすると、-m>-2m （つまりmが負の数）のとき、共通解なし。 m=0では、(x,y)=(0,0)で接する。 これが１つ目の答えです。 -m<-2m（つまりmが正の数）では、x<0のどこかで交点を持ち、この交点がy=0と重なるところが共通解となることが分かります。 これが２つ目の答えです。
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