半円面積算出の変換方法

質問

半円の中心を平行に少し下げた場合の面積は
S：面積
ｘ：中心からの距離
ｒ：半径
とすると

S=ｒ^2*ACOS(ｘ/r)-ｘ*SQRT(r^2-ｘ^2)

となりますが，このときxを求めたい場合の変換式をご教示ください。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

x/r = cosθ と置くと、その式は、
2S/r^2 = f(2θ) ただし f(z) = z - sin(z) と変形できます。
x = r cos(2 (f^-1)(2S/r^2)) ですが、
f の逆関数 f^-1 を初等関数の組合せで表示する方法がありません。
θがよく知られた特別の値になる場合を除いては、
数値計算で近似値を出すぐらいしか、できることがない。

お礼

ご回答ありがとう御座います。
やはり，難しいですね。
ｘを近似値で入力シムレーションして
算出するしかないかな。

回答No.3

alice_44

←A No.2 Thanks.
しかも、No.1 は式が違っているし。
x = r cos((1/2) (f^-1)(2S/r^2))
ですよね。

回答No.2

178-tall

>ｘを近似値で入力シムレーションして 算出するしかないかな。

一発「変換式」は思いつきません。ので、Newton 流の逐次求解でも。

変数は φ = a_sin(x/r) に統一するのが楽かも。
　Sh：半円の面積
　S：x ずらした面積
とすれば、
　φ + sin(2φ) = 2(Sh - S)/r^2 = d
φo を近似解としたときの Newton 流改善解φr は、
　φr = {2φo*cos(2φo) - sin(2φo) + d}/{1 + 2cos(2φo)}
で、収束は早いほう。