線形代数 直交行列 回転行列

質問

直交行列と回転行列について質問させて頂きます。

直交行列の定義は、
行列Aの転置行列がAの逆行列に等しい行列。
つまり、t^A=A^-1。よって、t^AA=At^A=Eが成り立つ。
このとき、行列Aは直交行列である。
また、直交行列の行列式は1である。

また、以前直交行列における「直交」の意味を質問
させて頂きました。
ご回答頂いた内容は、
＞直交行列では A が含む列ベクトルが互いに
＞直交し、大きさが全て 1 になります。
＞直交行列では A が含む行ベクトルが互いに
＞直交し、大きさが全て 1 になります。
です。ご回答頂いた内容は理解できています。

回転行列の定義
Wikipediaによれば、
回転行列は、常に実数を成分とする正方行列である。
代数学的には、n-次元空間での回転行列はn × nの直交行列であり、
その行列式は1である。

回転行列は常に実数を成分とするとあるのですが、
これはなぜなのでしょうか？

直交行列におけるベクトルの基礎体はCだが、
回転行列におけるベクトルの基礎体はRに限定
されるのでしょうか？

列成分で表される複素数を含む3×3直交行列があったとします。
第一列の成分が、
（a）
（b+ic）
（d）
で表される場合の第一列の大きさ（ノルム）は、
（a）
（b+ic）
（d）
と
（a）
（b-ic）
（d）
の内積の平方根と言う認識でOKでしょうか？

直交行列であるが回転行列ではない場合というのはあるのでしょうか？
回転行列だが直交行列でない場合というのは存在しないと思います。

以上、質問文が読みづらいかと思いますがご回答よろしくお願い致します。

回答No.12

noname#221368 · ベストアンサー

#10です。

＞一点だけ気になったのですが、等長変換と直交変換は
＞同じではないですよね？

　厳密には同じではないです。等長変換はアフィン変換の一種です（よって直交変換は特殊なアフィン変換です）。とは言えその前に、用語を確認させて下さい。自分は好き勝手に数学をやる方なので、この前のように皆さんと、用語がずれてる場合があります。アフィン変換とは、ある行列Ａとベクトルξで、

　　y＝Ａx＋ξ　　　(1)

と書けるもの（x，yもベクトル）。これで良いでしょうか？。以下は、(1)で良いとした時の話です。

　等長変換は、内積を不変に保つアフィン変換だと言えます。前回は等長変換Ｔ対して、Ｔ(0)＝0（0は零ベクトル）、すなわち|x|＝|Ｔ(x)|を無条件で認めましたが今回はそうしないので、等長変換をfで表します。等長変換の定義は前回と同じです。

　　|x－y|^2＝|x|^2＋|y|^2－2(x，y)　　　　　　　　　　　(2)

　　|ｆ(x)－ｆ(y)|^2＝|ｆ(x)|^2＋|ｆ(y)|^2－2(ｆ(x)，ｆ(y))　　　(3)

　　|x－y|^2＝|ｆ(x)－ｆ(y)|^2　　　　　　　　　　　　　　　　(4)

となりますが、(2)，(3)，(4)を特にy＝0で考え、

　　|x－0|^2＝|x|^2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2’)

　　|ｆ(x)－ｆ(0)|^2＝|ｆ(x)|^2＋|ｆ(0)|^2－2(ｆ(x)，ｆ(0))　　　(3’)

　　|x－0|^2＝|ｆ(x)－ｆ(0)|^2　　　　　　　　　　　　　　　　(4’)

において、(2’)，(3’)→(4’)と代入すると、f(0)に関する関係式、

　　|x|^2－|ｆ(x)|^2＝|ｆ(0)|^2－2(f(x)，ｆ(0))　　　　　　　　(5)

が得られます。そこで(2)，(3)→(4)と代入し、(5)を持ちこむと、

　　(x，y)＝(ｆ(x)－ｆ(0)，ｆ(y)－ｆ(0))　　　　　　　　　　　　(6)

を簡単に導けます。よって(6)からｆ(0)＝ξとして変換Ｔを、Ｔ(x)＝ｆ(x)－ξと定義すれば、やはり(6)から、Ｔは内積を不変に保ち、しかもＴ(0)＝0かつ|x|＝|Ｔ(x)|を成り立たせる変換なのは、明らかです。Ｔが直交変換であるとはまだ言えませんが、Ｔに対しては、同じく(6)から、

　　(x，y)＝(Ｔ(x)，Ｔ(y))　　　　　　　　　　　　　　　　　　(7)

なので、ここから#10の話を始める訳です。そうしてＴが直交変換である事を導けば、Ｔ(x)＝ｆ(x)－ξなので、

　ｆ(x)＝Ｔx＋ξ，Ｔは直交行列，ξはｆに関する定数ベクトル．

となり、ｆは、内積を不変に保つアフィン変換という事になります。

※　簡単な事なのにこういうのって、あんまり本には書かれていないんですよね・・・。「抽象的な話はいいからさぁ～」と昔はずいぶん愚痴りました・・・(^^；)。でも、じゅうぶん抽象的か・・・(^^；)。

お礼

ご回答ありがとうございます。

理解できました。
本当にありがとうございました。

仰る通りで、簡単そうに見えるのですがいざ証明しようと
してもペンが進まず困ってしまいます・・・
さらに、参考書に書いてあるのは高度過ぎて・・・

お陰様で理解できました。

最後までお付き合い下さりありがとうございましたm(_ _)m

回答No.1

noname#221368

＞回転行列は常に実数を成分とするとあるのですが、これはなぜなのでしょうか？

　定義の問題ではあるのですが、成分に複素数を許す直交行列を、ユニタリー行列と言います。この立場では、実ユニタリー行列が回転行列になり、ユニタリー行列を直交行列と言ったとしても、回転行列とは余り言わない気がします。実際ユニタリー行列は、複素ベクトル空間の中の回転を表し（←ひどい言い方ですよね・・・(^^；)）、実空間の中の回転とは少々違います。なので、直交行列＝回転行列という立場もあり得ます。

＞直交行列におけるベクトルの基礎体はCだが、回転行列におけるベクトルの基礎体はRに限定されるのでしょうか？

　なので、回転行列におけるベクトルの基礎体はRに限定される訳ではなく、複素ベクトル空間の中で単に、実ユニタリー行列を考えただけだとなるのですが、実ベクトル空間と回転行列のペアが、最も素直なのは事実です。

＞列成分で表される複素数を含む3×3直交行列があったとします。
＞第一列の成分が、
＞（a）
＞（b+ic）
＞（d）
＞で表される場合の第一列の大きさ（ノルム）は、
＞（a）
＞（b+ic）
＞（d）
＞と
＞（a）
＞（b-ic）
＞（d）
＞の内積の平方根と言う認識でOKでしょうか？

　OKです。こういうのを歪内積（のノルム）と言い、実ベクトル空間における内積を、複素ベクトル空間に拡張する標準的な方法です。歪内積においては、ノルム2乗は必ず正の実数値になり、歪内積の結果は一般に複素数ですが、歪内積０のときは直交なので、計量空間（内積を持った実ベクトル空間）は、複素計量空間（歪内積を持った複素ベクトル空間）へと拡張されます。

　でもちょっとだけ面倒臭い場面があって、複素ベクトル空間の部分空間に限定すると、複素ベクトル空間（部分空間）に（歪内積でなく）内積を適用した方が有用な時もあります。その例がミンコフスキー空間です。

　ミンコフスキー空間の（歪でない）内積は、常に実数値の結果を与えますが、ノルムの2乗が負のケースも許すので、擬似ユークリッド空間と言われたりします。

　擬似ユークリッド空間のような例もない事はないのですが、物理でもやってない限り、余り深刻に考える必要はないと思います。歪内積を持った、複素計量空間が基本です。

補足

ご回答本当にありがとうございます。

おおよそ理解できました。
理解できない点に関して追加質問させて下さい。

複素数を成分に含む直交行列をユニタリ行列というのですね。
itukadarekatoさんの仰るように直交行列もやはり実行列の概念
なのでしょうか？

ミンコフスキー空間についてですが、
これはミンコフスキー時空と言われるものですか？
私の認識では相対性理論を定式化する上で用いられた
3次元ユークリッド空間に時間の概念をあわせたものと認識しています。

擬似ユークリッド空間とはアフィン空間のことでしょうか？

以上、お手数ですがご回答よろしくお願い致します。