大学１年生の数学です。

質問

数列{x(n)}が
x(n＋1)=1/2x(n)＋1/x(n) (n=1,2,3…)で定義されるとする。
x(1)>0のとき、a=lim_［n→∞］x(n)を求めよ。

数学がとても苦手で困っています…
よろしくお願いします！

回答No.1

think2nd

学生なら友達と、ブレーンストーミングしながら解けるのに、ここのサイトに質問するんじゃ。どんな状況下で勉強しているか、勘ぐってしまいますよ。
任意のε>0を決めて、ある自然数Nが存在しn>Nとなる全ての自然数nについて｜a(n)-a｜<εとなることをいって解こうとするとNが見つけにくいですね。
ちょつと心配ですが以下のように解けると思います。検討してみて下さい。
x(1)>0のとき、帰納的に2以上の全ての自然数に対してa(n)>0であることが分かる。
　相加相乗平均関係から
　x(n＋1)=1/2x(n)＋1/x(n)>=2√{(1/2x(n)×x(n)}=√２
が成り立つから2以上のnについてa(n)>=√２...(1)
である。
数列{x(n)}がn>=2で単調減少数列であることを言う。
数列の差をとる。
　x(n+1)-x(n)=1/x(n)-x(n)=2-x^2(n)={√2-x(n)}{√2+x(n)}<=０
(なぜなら(１）から)
　よって
　x(n+1)<=x(n)
となるから
　n>=2となる全ての自然数nについて数列x(n)は単調減少数列である。
しかも
　a(n)>=√２であるから。
　この数列は下に有界な単調減少数列となり、収束する。
　その値を
　a=lim_［n→∞］x(n)とおいて与式に代入する。

　　a=a/2+1/a　よりaを求めると√2となるから、
　lim_［n→∞］x(n)=√２
　かな。