電気：温度係数について理解できません

質問

温度係数についてどうしても理解できません。

(1)
参考書（電気基礎上p42）では、
金属物質は、常温付近では、温度が１℃増加するときに、増加する抵抗量は、いつも同じ量になる。
というようなことが書かれています。

(2)
例えばある物質は、
２０℃のとき、抵抗が４０Ωであるとして、
２１℃のとき、抵抗が４５Ωであるとします。

(3)
ということは、定義から、この物質は１℃増加するごとに抵抗は５Ω増加する
といえます。

(4)
それにより、この物質は２２℃の場合、
５０Ωであるはずです。

(5)
温度係数というものの求め方として、公式が存在しますが、
　温度係数＝１℃増加時に増加する抵抗量÷元の抵抗量
となっています。

(6)
これを先ほどの例にあてはめると、
　２１℃時：5 / 40 = 0.125
　２２℃時：5 / 45 = 0.111…
つまり、温度係数は、温度ごとに異なる値になってしまいます。

それなのに、世の中には温度係数表のようなものがあり、
そこを見ると、常温付近では温度係数は常に同じ値になっています。

私の考えはどこからおかしいのでしょうか？
(2)で、抵抗値は温度により決まるように書いています（低効率・長さ・断面積が一定の場合）が、
これも正しいのでしょうか？

回答No.4

rnakamra · ベストアンサー

#3のものです。

>例で、２１℃から２２℃に増加する場合、
>温度係数 0.125 を一定と決めると、
>0.125 x 45 が抵抗の増加分になって、
>５０Ωではなく５０．６２５Ωとなります。
>つまり、１℃増加するごとに、抵抗の増加率は一定ではなく、指数的に増加します。

そのことについては全く正しい。
しかし私が#3で言ったことを理解していない節がある。

それは
指数関数的増加は、その指数が十分小さいとみなせれば1次関数と近似できる、ということです。これは指数関数的な増加をする場合によく使う近似です。

つまりこの場合でも、ここでいうところの指数部分が十分小さいので、指数についての1次式で近似できる、としているのです。もちろん、この指数が十分に小さいという前提が大事でこれが成り立たないといけません。
とはいっても、指数自体をオフセットしてしまえばある範囲では十分小さいとみなせなすので(#3でいうところのToを付けることで指数部分を小さくしています)後はkとTの比がものをいいます。

お礼

＞その指数が十分小さいとみなせれば1次関数と近似できる
これで納得です。どうもありがとうございました。
温度係数を適当な値でなく普通な値でやっていれば気付いてたかもしれませんね・・・

回答No.7

中村 拓男（@tknakamuri）

温度係数というのは、例えば25℃を基準にすると

R = R25{1 + α(t-25)}　(R25: ２５度での抵抗値, t は摂氏)

つまり、抵抗値を温度の一次近似で表す場合の係数αです。

半導体は負、金属は正で 0.4%/度 くらいです。

お礼

ご回答ありがとうございます。
始めからその公式に注目していればよかったです・・・

回答No.6

xpopo

回答NO.5です。もう一つのご質問；

＞(2)で、抵抗値は温度により決まるように書いています（低効率・長さ・断面積が一定の場合）が、
＞これも正しいのでしょうか？

これは正しいです。

お礼

ご回答ありがとうございます。
もやもやが晴れました＾＾

回答No.5

xpopo

まず、温度係数をαとします。この温度係数の基準になる温度をTrefとします。
温度係数はaaaaaさんが質問に書かれてる

＞(5)
＞温度係数というものの求め方として、公式が存在しますが、
＞　温度係数＝１℃増加時に増加する抵抗量÷元の抵抗量
＞となっています。
＞
＞(6)
＞これを先ほどの例にあてはめると、
＞　２１℃時：5 / 40 = 0.125
＞　２２℃時：5 / 45 = 0.111…
＞つまり、温度係数は、温度ごとに異なる値になってしまいます。

ように温度係数αは基準になる温度を変えると値が異なってきます。ちなみに基準温度Trefを
変えてゆくと、たとえば、

基準温度Tref　　　　　　　　温度係数α
　　２０℃　　　　　　　５Ω／４０Ω＝０．１２５
　　２１℃　　　　　　　５Ω／４５Ω＝０．１１１
　　２２℃　　　　　　　５Ω／５０Ω＝０．１００

となります。実際の温度ｔ℃での抵抗R(t)は以下の式；

R(ｔ)＝R(@Tref）×{１＋α（＠Tref）×（t-Tref）}　　　　（１）

で表されます。式（１）でR(@Tref)は基準温度Trefでの抵抗値を、α（@Tref)は
基準温度Trefにおける温度係数を表します。式（１）を使ってｔ＝５０℃での抵抗値を
求めてみます。計算では基準温度Trefを２０℃、２１℃、２２℃それぞれの場合で
計算してみます。

a)　Tref＝２０℃の場合
　R(@Tref)＝４０Ω、　α（＠Tref)＝０．１２５

　　R(５０℃）＝４０Ω×{１＋０．１２５×（５０℃－２０℃）}＝１９０Ω

b)　Tref＝２１℃の場合
　R(@Tref)＝４５Ω、　α（@Tref)＝０．１１１

　　R(５０℃）＝４５Ω×{１＋０．１１１×（５０℃－２１℃）}＝１９０Ω

c)　Tref＝２２℃の場合
　R(@Tref）＝５０Ω、　α（＠Tref)＝０．１００

　　R(５０℃）＝５０Ω×{１＋０．１×（５０℃－２２℃）}＝１９０Ω

となり、当たり前ですがどの基準温度の温度係数を使っても計算結果は同じになります。
計算結果が同じなら、基準の温度係数は少ないほうが混乱しませんので世の中、一般に
使用する温度係数は基準温度を常温（２０℃あるいは２５℃）に統一して使うように
なっているのです。

ですからaaaaaさんの疑問の「つまり、温度係数は、温度ごとに異なる値になってしまいます。」
はそのとおりで間違っていません。
ただ、温度係数はどの基準温度の値を使うか一々、異なる値から選んで使うのは不便だから
世の中では同じ基準温度の温度係数を使っているだけということです。

お礼

参考書の２番目の公式どおりでなんですね・・・
計算例を示していただけたおかげで自信が持てました。
どうもありがとうございました。

回答No.3

rnakamra

温度係数の値は金属によりますが、質問者の提示している値とは桁が全く異なります。
普通なら温度係数は1/100以下、そんなものです。

常温付近というものを23±5℃としても18℃と28℃ではせいぜい5%程度しか抵抗値は変化しません。(温度係数が0.005よりも少し小さい程度の金属の場合)
この場合、18℃と28℃で温度係数が一定であるとするとそこでの1℃変化したときの抵抗値の変化の差は5%程度の違いしかありません。

数学的に言うと、温度係数一定のT-Rの関係は指数関数になります。
R=Ro*exp{k(T-To)}
これの式はk(T-To)<<1のもとでは
R≒Ro(1+kT)=Ro+Ro*k(T-To)=(Ro-kTo)+kT
となり、温度Tについて直線的に変化する、つまり同じ温度変化させると抵抗変化もだいたい同じだけ変化します。そしてその係数はkとなります。
ここで重要なのはk(T-To)<<1ということ。常温と見なせる範囲が23±5℃であればTo=23℃、|T-To|≦5℃　となりますので5*k<<1 であれば近似として成り立つということです。
温度係数とkの関係についてはご自分でお考えください。

補足

ご回答ありがとうございます。

例の温度係数が大きすぎる件は無駄な計算を減らしてわかりやすくするための
適当な数値ですのでご容赦ください。

＞数学的に言うと、温度係数一定のT-Rの関係は指数関数になります。
これが真だと思うのですが・・・

参考書の
＞物質の温度が１℃上昇したときに増加した抵抗をもとの
＞温度のときの抵抗値で割った値を一般に抵抗の温度係数と呼んでいる。

の書いてあるとおりならば、
温度係数の意味は、１℃増加するということは、その物質の元の１Ωに対して何Ω増加するか
を表すように見れます。

例で、２１℃から２２℃に増加する場合、
温度係数 0.125 を一定と決めると、
0.125 x 45 が抵抗の増加分になって、
５０Ωではなく５０．６２５Ωとなります。
つまり、１℃増加するごとに、抵抗の増加率は一定ではなく、指数的に増加します。

こちらが参考書の解説してる箇所です。
http://sakurasite.homeip.net/imgboard/img-box/img20120329123615.gif

回答No.2

acha51

温度係数＝１℃増加時に増加する抵抗量÷元の抵抗量
ではなく
温度係数＝１℃変化時に増減する抵抗量　単位は　Ω/℃　です

例えばある物質は、（実際にはこんな物質はありませんが）
２０℃のとき、抵抗が４０Ωであるとして、
２１℃のとき、抵抗が４５Ωであるとします。

温度係数＝45-40＝+5　（Ω/℃）
となり素材固有の特性なので温度係数表があります

　2)で、抵抗値は温度により決まるように書いています（低効率・長さ・断面積が一定の場合）
　低効率→抵抗率です

　抵抗値＝抵抗率ｘ長さ÷断面積です
一般的には25℃での値です

　これが温度係数によって温度に応じて変化します

補足

ご回答ありがとうございます。
＞温度係数＝１℃変化時に増減する抵抗量　単位は　Ω/℃　です

これで全てがうまくいくように思えるのですが、
参考書の

＞物質の温度が１℃上昇したときに増加した抵抗をもとの
＞温度のときの抵抗値で割った値を一般に抵抗の温度係数と呼んでいる。

という記述と微妙に一致しないのです。
参考書の場合、温度係数に単位を与えるとしたら Ω/Ωになります。

こちらが参考書の解説してる箇所です。
http://sakurasite.homeip.net/imgboard/img-box/img20120329123615.gif

回答No.1

misawajp

係数の意味の理解が　おかしいです

ｙ＝a*x+b　を適用すべきこと　であるだけです

また例が悪すぎます　　
＞２０℃のとき、抵抗が４０Ωであるとして、２１℃のとき、抵抗が４５Ωであるとします。

こんな物質(金属）は存在しません　数桁大きすぎます

さらに　温度は　摂氏　ではなく絶対温度でなくてはなりません（　ｙ＝a*x+b　ならその違いは吸収されてしまうが）

(2)　は　自分でよく考えてみることです

なお、自分の（乏しい知識での）考えが正しい　と思い込みたい気が強過ぎるようです　冷静に客観的に解釈判断できるよう努力することです

補足

ご回答ありがとうございます。

＞係数の意味の理解が　おかしいです
＞ｙ＝a*x+b　を適用すべきこと　であるだけです

温度係数を、ｘ＝温度　ｙ＝抵抗のグラフの傾きと考えれば確かにつじつまが合うのですが、参考書の

＞物質の温度が１℃上昇したときに増加した抵抗をもとの
＞温度のときの抵抗値で割った値を一般に抵抗の温度係数と呼んでいる。

という記述が、例の２１℃の時と２２℃の時で異なる値になるのが、納得できないのです。

こちらが参考書の解説してる箇所です。
http://sakurasite.homeip.net/imgboard/img-box/img20120329123615.gif

例の温度係数が大きすぎる件は無駄な計算を減らしてわかりやすくするための
適当な数値ですのでご容赦ください。