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同相写像となる事の証明をお教え下さい
よろしくお願い致します。 f(x+yi)=(x+yi)^{1/2}の2価関数の片方の一価関数 map g:C＼{0}→Cが g(x+yi):=(((√(x^2+y^2))^{1/2}cos((cos^-1x/√(x^2+y^2))/2)+i√(x^2+y^2))^{1/2}sin((cos^-1x/√(x^2+y^2))/2)) の時(C＼{0}からCの半面への写像), 同相写像となる事を示したいのですがどのようにすれば示せますでしょうか?
- Sakurako99
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- eclipse2maven
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関数論つかえるのなら z^n の微分は nz^(n-1) nは有理数 使った方が早い。 それか z^n=exp(nlog z) だから 正則といった方がいいような。。。
- alice_44
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←A No.4 補足 導関数の計算が、違っています。 式が長くて、どこをどう間違えているのか 見つけにくいのですが… g の逆関数が z→(zの2乗) であること を思い出せば、微分するのは容易でしょう。
- eclipse2maven
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あ、こんどは r 忘れてる（＿＿； （←自己嫌悪）
- eclipse2maven
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i を いれるの忘れちゃった（＾＾； z=e^(iθ）ですね θ を 適宜 iθ に 読み替えてくださいね
- eclipse2maven
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＞「(XT),(Y,S)を距離空間(T,Sは夫々の位相)としg∈Map(X,Y)がX上で微分可能且つg'(x)≠0 for∀x∈X ＞ならg^-1は開集合」 ＞という定理があるのですね。 距離空間が微分可能って？？ なにか多様体構造（無限次元の場合も含めて）が入ってないと微分可能なんて言葉使えません。 今の場合、実数でかんがえるなら 2変数になりますから、 逆関数定理です。これはすでにやられているはずですね。ヤコビ行列のdet が０でなければ、局所的に微分同型という定理です。 複素関数の場合は、微分係数が０でないですが、これはコーシーリーマン使うと、上の定理になるはずです。（多分） ただ、そんな難しいこといわなくても g って fと同じだと思うのですが。。。 ちがうのかな？ だとすると g(z)=z^(1/2) = exp(1/2*log(z)) ですから 正則です。 逆は z^2ですから 正則ですよね。 だから同相なのはあきらか。 関数論をしらないなら z=re^θ としたら g(z)=r^(1/2)*e^(θ/2） （長さはルートとって 角度は半分にした） つまり 極座標 で 両方書いたら (r,θ) を (r^(1/2),θ/2) に移してるだけです。 これって同相ですよね。 gがなぜわざわざfと区別してるのか？ gを読み違えていたら、ごめんなさい。
- alice_44
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A No.3 は、 g または g の逆関数の一方が、微分可能かつ 微分係数が 0 にならないことを示せば、 g も g の逆関数も連続であることが示せた ことになる…という意味です。 g の逆関数の導関数を計算するのは、簡単でしょう。
お礼
ご回答誠に有難うございます。 「(XT),(Y,S)を距離空間(T,Sは夫々の位相)としg∈Map(X,Y)がX上で微分可能且つg'(x)≠0 for∀x∈X ならg^-1は開集合」 という定理があるのですね。 すみません。この定理の名称は何というのでしょうか(開集合定理)? >A No.3 は、 > g または g の逆関数の一方が、微分可能かつ > 微分係数が 0 にならないことを示せば、 > g も g の逆関数も連続であることが示せた > ことになる…という意味です。 > g の逆関数の導関数を計算するのは、簡単でしょう。 今,g(x+yi)=(((√(x^2+y^2))^{1/2}cos((cos^-1x/√(x^2+y^2))/2)+i√(x^2+y^2))^{1/2}sin((cos^-1x/√(x^2+y^2))/2))だから g^-1((((√(x^2+y^2))^{1/2}cos((cos^-1x/√(x^2+y^2))/2)+i√(x^2+y^2))^{1/2}sin((cos^-1x/√(x^2+y^2))/2)))=x+yi=:z だから (g^-1)'((((√(x^2+y^2))^{1/2}cos((cos^-1x/√(x^2+y^2))/2)+i√(x^2+y^2))^{1/2}sin((cos^-1x/√(x^2+y^2))/2)))=z'=1 なので導関数は1の定数関数で微分係数も≠0なのでg^-1は(C＼{0}の半面)上で連続で しかもgもC＼{0}上で連続(∵上記の定理)となり, 結局,gとg^-1は同相関係になるのですね。
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
その通りですね。訂正: 微分可能かつ微分係数が 0 にならないなら、 逆関数も微分可能だから連続。 …すみませんでした。
お礼
すっすいません。 結局のところ,gとg^-1が連続である事はどのようにして示せばいいのか教えていただけないでしょうか?
- eclipse2maven
- ベストアンサー率32% (33/101)
＃１さんへ ＞写像が可逆かつ連続であることを言えば、 ＞逆写像も連続であり、同相であることが示せます。 ほんとですか？ 具体的な反例が示せませんが、私は証明も思いつかないので、よかったら証明していただけませんでしょうか？ 尚、一般には成り立ちません。 だって、同じ集合で位相がことなる位相空間で 恒等写像を考えれば、あきらかですよね。 何らかの開写像定理が成り立つのでしょうか？
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
写像が可逆かつ連続であることを言えば、 逆写像も連続であり、同相であることが示せます。 g が逆写像を持つことは、自明ですね。 g の連続性を示すよりも、g の逆写像の連続性を 示すほうが簡単でしょう。
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>距離空間が微分可能って？？ ユークリッド空間じゃないと微分とかの概念は使えないのでしたね。 > gがなぜわざわざfと区別してるのか？ fは2価関数でその内の一つをgと命名しただけです。 > ←A No.4 補足 > 導関数の計算が、違っています。 > 式が長くて、どこをどう間違えているのか > 見つけにくいのですが… > g の逆関数が z→(zの2乗) であること > を思い出せば、微分するのは容易でしょう。 あっそうか。 g(x+yi):=(((√(x^2+y^2))^{1/2}cos((cos^-1x/√(x^2+y^2))/2)+i√(x^2+y^2))^{1/2}sin((cos^-1x/√(x^2+y^2))/2)) はf(z)=z^{1/2}という2価関数の片方の写像でしたから, g^-1((((√(x^2+y^2))^{1/2}cos((cos^-1x/√(x^2+y^2))/2)+i√(x^2+y^2))^{1/2}sin((cos^-1x/√(x^2+y^2))/2)))=(x+yi)^2(=z^2) ですね。 なので (g^-1)'((((√(x^2+y^2))^{1/2}cos((cos^-1x/√(x^2+y^2))/2)+i√(x^2+y^2))^{1/2}sin((cos^-1x/√(x^2+y^2))/2)))=(z^2)'=2zとなるのでg^-1はC＼{0}微分可能で C＼{0}での微分係数は≠0なので逆写像定理が使えて, gとg^-1とは同相関係になるのですね。