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区分求積法と極限値計算の関係性
info22_の回答
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>lim(x→∞)Σ(k=1→n){(n+k)/n^4}^-3 この式、間違ってませんか? 滅茶苦茶な式です。 >上式であれば、x=k/n^3とみなして、 滅茶苦茶な置き換えです。 置き換えはx=k/nと決まっています。 >Σの中身を >(1/n)(1+x)と変換し、 と変換できません。 >∫(1-0){1+x}^-3 の式の結果として、 ∫[0,1] {1/(1+x)^3} dx だとしても >{3(2)^(1/3)}/2 - 3/4 といった結果を得るわけです。 とはなりませんよ。 >この変換と計算結果自体は良いのですが、 間違いに間違いを重ねていて、こういうことが断言できるのでしょう? おそらく問題の式は lim(n→∞)Σ(k=1→n){(n+k)^(-3)}n^2 ではないでしょうか? そうであれば =lim(n→∞)(1/n)Σ(k=1→n) {(n+k)^(-3)}n^3 =lim(n→∞)(1/n)Σ(k=1→n) {(n/(n+k))}^3 =lim(n→∞)(1/n)Σ(k=1→n) 1/{1+(k/n)}^3 これは関数f(x)=1/(1+x)^3 を x=0から1まで積分する定積分の定義(区分求積法)そのものであるから =∫[0,1] 1/(1+x)^3 dx =[-(1/2)/(1+x)^2] [0,1] =(1/2)-(1/8) =3/8 というような計算結果になります。
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