数学のクイズが難しい

質問

Ａ　１００％の命中率を誇るガンマン

　Ｂ　６０％の命中率を誇るガンマン

　Ｃ　３０％の命中率を誇るガンマン

　Ｄ　１０％の命中率を誇るガンマン

　この４人で戦う事になり、Ｄ・Ｃ・Ｂ・Ａの順番で好きな相手を一度撃てます

　最後の一人まで繰り返します

　Ｄが生き残れる確率がもっとも高い方法はどうような方法でしょうか？

回答No.4

momordica · ベストアンサー

Dから始めて一人ずつ順に誰かを撃つということですよね。
＃３さんは、全員が同時に撃つと考えたんでしょうか。

まず、自分を含めて残り二人になったときは、当然ながら、その相手を撃つ以外の選択肢は
ありません。

また、自分を含めて残り３人になったときは、自分の狙撃が成功すれば次は残った一人から
自分が狙われることになるので、生き残る確率を上げるためには、命中率の低い相手を
残すべきです。
したがって、狙うのは、２人の敵のうち命中率の高い方ということになります。

そして、最初に４人とも生存している状態でDがだれを狙うべきかということについてですが、
失敗して命中しなかった場合は、その後の生存確率は狙っていたのが誰であっても同じなので
狙撃に成功した場合だけを考えれば構いません。
そして、Dが最初の狙撃に成功した場合には、それ以後の残った３人の行動は上記のように
　「自分の番になったら自分以外で命中率の最も高い相手を狙って撃つ」
に限られるので、Dが最初に撃ったのがA,B,Cであったそれぞれの場合について、その後の
Dの生存確率を計算することができます。

最初の１発でAを倒した場合、
　Σ[n=1 to ∞]{0.3*(0.9*0.7*0.4)^(n-1)}*Σ[n=1 to ∞]{0.1*(0.9*0.7)^(n-1)}
　　+Σ[n=1 to ∞]{0.7*0.6*(0.9*0.7*0.4)^(n-1)}*Σ[n=1 to ∞]{0.1*(0.9*0.4)^(n-1)}
　　+Σ[n=1 to ∞]{0.7*0.4*0.1*(0.9*0.7*0.4)^(n-1)}*Σ[n=1 to ∞]{0.7*0.1*(0.9*0.7)^(n-1)}
　　=0.203213073

最初の１発でBを倒した場合、
　0.3*Σ[n=1 to ∞]{0.1*(0.9*0.7)^(n-1)} + 0.7*0.1
　　=0.151081081

最初の１発でCを倒した場合、
　0.6*Σ[n=1 to ∞]{0.1*(0.9*0.4)^(n-1)} + 0.4*0.1
　　=0.13375

したがってDが最初に狙うべき相手はAということになるので結局Dの取るべき戦略は、
最初の１手から

　「自分の番になったら自分以外で命中率の最も高い相手を狙って撃つ」

でよいということになります。
大方の予想通りなのではないでしょうか。

回答No.5

momordica

＃４です。
私の回答は

・４人とも十分に論理的な思考ができ、自分が生き残る確率が最も高くなるように最適な行動をとる。
・４人とも自分以外の３人がそのような行動をとることを知っている。

と言うことを前提としたものです。念のため。

回答No.3

rabbit_cat

これは本質的に回答不能（論理的な答えを導き出すことはできない）では。

話としては、ＡＢＣＤそれぞれが、他の３人がどう行動するはずだから、というのを論理的に考えた上で、その上にたって、自分にとって最も良い戦略を考えることになるんでしょうけど。

問題はＡは命中率１００％ってことです。
まずＢの立場にたって考えると、Ａが生き残っている間は、（まともに論理的に最良な戦略を考えれば）最も命中率の高いＡを狙う１択です。
で、Ａの立場から考えると、一発目でＢがＡを狙ってくる（はずである）以上、自分は、Ｂを狙うべきです。

ところが、この論理をＢの立場にたってもう一回考えると、
ということは、自分（＝Ｂ）は、１発目でＡに狙われて１００％死ぬことになるですね。
つまり、Ｂは、全ての人が論理的に最良な戦略をとるという前提で行動すると、自分自身は確実に死ぬことになるわけです。
というわけで、Ｂとしては、少なくとも論理的に最良な戦略だけはとっては「いけない」ことになります。
なんで、Ｂはたとえばランダムに相手を決めて撃つ、といった論理的に最良な戦略ではない行動をとることになるでしょう。（そうすれば、死なない可能性もありえる「かも」しれません）

とすると、Ｂ以外の他の３人（ＡＣＤ）も、少なくともＢは論理に最適な戦略ではない行動をとってくるという前提で動かなければなりません。
すると、自分も論理的に最良な戦略は、本当に最適なわけではない可能性があります。
（なぜなら、Ｂは論理的に最良な戦略はとってこないので、前提が崩れている）

こう考えると、結局、全ての人が、論理的に最良の戦略を、とらないことになるでしょう。
（もしかしたら、一部の人は、あえて「論理的に最良の戦略」をとり続けるかもしれませんが、少なくともその決定自体は「論理的に決めたこと」ではありません。）

回答No.2

noname#175206

単なる確率では答は出ないでしょう。ゲームの理論などの実験では、敵意を向けられたら、その相手に敵意を返す傾向があるとされています。もちろん、絶対的な法則ではありません。

　Dがまず誰かを撃つとして、Aを狙ったとします。BとCの行動にもよりますが、AがDに対して報復行動に出ることも考えなければいけません。Aが報復攻撃行動タイプだと、誰も怖くてAを狙うのをためらうことも充分考えられます。

　すると、Dは最初はAを狙わず、Dの次に命中確率の低いCを狙う戦略も考えなければなりません。Dからすれば、報復が最も怖くないのがCですから。

　A,B,C,Dというガンマンの行動パターンも考えて、最適戦略を練る必要があり、条件次第で様々な最適戦略があり得ます。

　ちょっと、面倒になりそうなので、私の手に負える範囲でないような気もしますので、具体的な回答は控えます。

回答No.1

WiredLogic

＞Ｄが生き残れる確率がもっとも高い方法はどうような方法でしょうか？

まさか、

最初に相手誰でもとりあえず一発撃っといて、
Ｃが誰を撃つか考えている、ＡやＢがおれが
撃たれるんじゃないかと戦々恐々としている
隙に、コッソリ逃げ出す、

が正解、というんじゃないですよね^^
(自分がＤならそうしたいところですが^^）

基本的に、生き残ったガンマンの命中率は、
低ければ、低いほど、自分が狙われたとき、
助かる確率が上がるので、誰にとっても、
自分以外のもっとも命中率が高いガンマンを
撃つ、というのが、直観的には、最適戦略に
なると思います。

特に、命中率100%のＡは、生き残っててもらっちゃ
困る、というのが、ＢＣＤ３人共通の思いでしょう。
他の人間を撃って、Ａの番まで、Ａが生き残っている
確率は上がるし、自分とＡ以外の人間が少なくなる確率
が上がる、ということは、その分、自分がＡに撃たれて
確実に死ぬ確率が上がる、これは避けたいかと、

で、全員が生き残った上で(確率25%ほど)、
Ａは誰を撃つかというと、これは間違いなくＢ、
次の順で、ＤＣともにＡを狙ってきますが、
それでも、Ａが生き残る確率は63%あり、
Ｂに撃たれて生き残る40%よりマシ、

という具合に進むと考えられます。

キチンと確率チェックすると、違ってくることもありえますが、
この問題だと余りなさそうな気が…。と、感じた時点で、
ハマっているんだろうか？