無限級数の質問です。

質問

Σ［n=1→∞］（1/(n^r)）が収束する正の実数rの範囲が知りたいです。

r=1だと発散しますが、r=2だと収束しますよね？

いったいどこまでが収束するんでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

#2です。

A#2に書いたゼータ関数ζ(r)のグラフは

参考URLでy=ζ(r)のグラフをプロットしてくれます。

グラフから分かるようにζ(r)はr＝1で発散しますので。r=1で未定義となります。
しかし,r≠1であればr>1の範囲で限りなく1に近いr（例えばr=1.00000001）に対してζ(r)は有限な値を取りますので級数の収束値がζ(r)なので級数も収束します。
ただ、rが1に近い値であればあるほど収束値のζ(r)も大きな値になります。

参考URL
http://www.wolframalpha.com/input/?i='plot+zeta(r)+from+0+to+5'

参考URL：

http://www.wolframalpha.com/input/?i='plot+zeta(r)+from+0+to+5'

回答No.2

info22_

rが実数の時
r>1でゼータ関数ζ(r)に収束します。

参考URL
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum(1/n^r,n,1,infinity)

参考URL：

http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum(1/n^r,n,1,infinity)

回答No.1

Tacosan

1 がぎりぎり.