無限級数の証明について！！！！！！

質問

∞
Σ 　1/n
n=1

これは収束するんですか？もしくは、発散ですか？
発散する場合は、なぜ発散するのか詳しく教えてください。
よろしくお願いします。

P.S　見にくくて申し訳ありません。

回答No.3

R_Earl · ベストアンサー

+∞に発散します。
証明方法は色々ありますが、個人的に一番分かりやすそうなものを一つ挙げます。
まず、

∞
Σ 　1/n
n=1

ですので、

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + …… ―― (1)

です。さて、ここで
1/3 > 1/4
1/5 > 1/6 > 1/7 > 1/8
ですので

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + ……
> 1 + 1/2 + 1/4 + 1/4 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + …… ―― (2)

(2)は(1)の1/3を1/4に置き換え、
1/5、1/6、1/7を1/8に置き換えたものです。
(2)の1/4同士、1/8同士足し合わせて

(2) = 1 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + ……

(1)の1/9以降でも同じような作業で1/2を作り出せるので、
（1/9～1/16までを、全部1/16に置き換えると1/16が全部で8個なので足し合わせると1/2になる）
(2)の無限和は1/2が無限に出てくるわけですから正の無限大に発散します。
(1) > (2)の関係から、(2)がn→∞で+∞に発散するなら
(1)もn→∞で+∞に発散しますよね？

回答No.9

hinarikako

このような無限調和級数の総和が発散することは
微分積分学では基礎的なことです。証明はＮＯ２，
ＮＯ３さん方法で十分です。この問題は無限がからんでいるので直観力より論理的に考えなければならない典型的な例です。

回答No.8

noname#18507

No1の者です。私のは間違っていますね。失礼しました。

回答No.7

mangou-kutta

発散します。
これは調和級数とよびます。

一般に第n項ａn≧0　ａn↓のとき
∞
Σ 　ａn が収束ならば
n=1

lim（ｎ→∞）ｎ・ａn＝０が成り立ちます。

対偶は
lim（ｎ→∞）ｎ・ａn≠０ならば
∞
Σ 　ａn は収束しない(この場合は発散)
n=1

です。

この定理を使えば
lim（ｎ→∞）ｎ・(1/n)＝１≠０だから発散
となります。

証明はεーN論法というのでしますがイメージ的には
No.3さんの回答に準じます。

回答No.6

freedomshu

発散します。

数列{ａn｝の第ｎ項までの和をＳｎとすると

lim（ｎ→∞）Ｓｎが収束するならばlim（ｎ→∞）ａnは収束する

という命題が成り立ちます。この命題の逆は成り立ちません。
この無限級数は逆の反例になっています。

回答No.5

tuort_sig

必ず収束します。必ず。

回答No.4

noname#21219

♯2です。訂正します。
1＋1/2＋1/3＋...≦∫1/xdxであり　×

1＋1/2＋1/3＋...＞∫1/xdx[1～∞]です

y=1/xというグラフを書いて、x=1のところでx軸から
上に真っ直ぐ線を引くと曲線にぶつかります。
ぶつかったら、そこから右横に1だけ幅がある細い
長方形をとります。次に、x軸のx=2で同様なことをします。これを永遠と繰り返すと、出来上がった長方形
の面積全ての和が、1＋1/2＋1/3＋...になります。
そして、その長方形の群れは、y=1/xというグラフ
より余分に上に突き出しています。つまり、y=1/xを
1から∞まで積分したものより長方形群の面積の和のほうが大きいということです

回答No.2

noname#21219

確かに項は0には近づきますが、『無限に足しこむ』
という、『無限』というところを考えなければなりません。答えは発散します。末項が0に近づく速さより、
加えられる速さのほうが早いということです。

1＋1/2＋1/3＋...≦∫1/xdxであり、
[logx](1～∞)＝∞です

回答No.1

noname#18507

答えからいうと収束します。
なぜなら、
∞
Σ 　1/n　＝1+ 1/2 + 1/3 +　…… +1/∞
n=1

であり、加えていく値が０に近づく、言い換えると、最後のほうは足しても値としてはさほど変化しない事になります。
よって、収束です。