- ベストアンサー
微分
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
合成関数の微分は、そのまま微分×中身の微分、です。 f(x) = log(1+2x) f'(x) = (1+2x)'×(1+2x)^(-1) = 2(1+2x)^(-1) f''(x) = 2^2×(-1)×(1+2x)^(-2) = -4(1+2x)^(-2) f''' (x) = 2^3×(-1)×(-2)×(1+2x)^(-3) f''''(x) = 2^4×(-1)×(-2)×(-3)×(1+2x)^(-4) f(n)(x) = (-1)^(n-1)×2^n×(n-1)!×(1+2x)^(-n) = -(-2)^n・(n-1)!・(1+2x)^(-n) ではないですかね。
関連するQ&A
- 至急お願いします（微分積分）
[至急] 「関数ｆ（ｘ）はx=aの近傍でC（ｎ回まで微分可能）級でｆ’（a)=・・・=f(n-1回微分)(a)=0,f(n回微分）(a)≠0である場合で 「関数ｆ（ｘ）はx=aの近傍でC（ｎ回まで微分可能）級でｆ’（a)=・・・=f(n-1回微分)(a)=0,f(n回微分）(a)≠0である場合で (1)「f(x)がx=aの近傍でC（n回微分が可能）級」の意味を微分可能・連続の言葉を用いて説明せよ。 (2)f(x)をx=aの周りでTaylor展開せよ。 (3)nが偶数でf(ｎ回微分)(a)>0のとき、f(x)はx=aで極小値をとることを示せ[ｆ(n回微分）(a)<0のときは極大値である。] (4)ｎが奇襲でf(ｎ回微分)(a)>0のとき、f(x)はx=aの近傍で単調増加となることを示せ[ｆ(n回微分）(a)<0のときは単調減少である] 上の問題が分かる方がいましたら教えていただけると助かります。どれか1問のみでも結構です。 詳細な回答を頂けたら幸いです。
- 締切済み
- 数学・算数
- 解は得られても理解が不十分です(ベルヌーイ微分式）
回答者の皆様、いつもお世話になります。 最近は微分方程式も少しは解ける様になれました。 ベルヌーイ微分式なのですが、一部分理解できない所があります。 y´+ p(x)y=Q(x)y^nの微分式において、 w=y^(-n+1)ならば、w´=(-n+1)y^(-n)・y´ とテキストにありますが、w=y^(-n+1)を単純に微分したらw´=(-n+1)y^(-n)ではないですか？y´は何処から出てきたのでしょう？(乗じているので合成関数っぽいです) 思いつく範囲では、そもそも関数y=f(x)があって、関数ｗ＝f(y)があるので、 w=f(f(x))であり、w´=f´(y)*dy/dx=f´(y)*y´ぐらいです。 実際はどうなのでしょうか、基本的なこと過ぎてテキストに説明が無いのかもしれませんが、ご指導願います。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 高階偏微分係数とテイラー展開
ｎ変数をまとめてｘで表し、 ｘ＝（ｘ１、ｘ２、ｘ３・・・、ｘｎ） また ∂ｊ＝∂/∂ｘｊをｘｊについての偏微分とします。 多重指数α＝（α１、α２、α３・・・、αｎ）に対して、 (1)ｘ＾α＝ｘ１＾α１・ｘ２＾α２・ｘ３＾α３・・・・ｘｎ＾αｎ (2)∂＾α＝∂１＾α１・∂２＾α２・∂３＾α３・・・・∂ｎ＾αｎ (3)α！＝α１！・α２！・３！・・・・・・αｎ！ (4)｜α｜＝α１＋α２＋α３・・＋αｎとします。 (5)ｆ（ｘ）を無限回微分可能な関数とします。 (1)．aとｈを固定してF(ｔ)＝ｆ（a+th）とします。 ｎ＝０，１，２，３に対して、 F（ｔ）のｎ回微分Ｆ＾（n）（t）【＾（n）のように微分の場合括弧をつけます】は Σ（ｎ！/α！）・ （h＾α）（∂＾α）（a+ th）等しいことを示しなさいという問題。むずかしいです。帰納法で攻めてったらいいのでしょうか？ (2)．Ｆ（t）についてのt＝０でのテイラー展開から Ｆ(１)＝Σ<p＝０→n>{Ｆ＾（p）（０）}/p！＋ １/n！∫<０→１>（１－t）＾n・Ｆ＾（n +1）(t)dtを導き、さらにこの等式がx＝a でのテイラー展開f(a+h)=Σ<｜α｜≦n>{∂＾α・f（a ）h＾α}/α！＋Σ<｜β|=n+1｜>{(n＋１)h＾β}/β!・（∫<０→１>（１－t）＾n・∂＾β・f（a+th）dtを導高とは思うんですが・・・
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ありがとうございます！！