微分

質問

log(1+2x)のn回微分を教えて下さい。
f(x) = log (1+2x)
f '(x) = 2(1+2x)^(-1)
f '' (x) = -4(1+2x)^(-2)
f '''(x) = 16(1+2x)^(-3)
f(n) (x) = (-1)^(n-1) * ? * (1+2x)^(-n)

回答No.1

DJ-Potato · ベストアンサー

合成関数の微分は、そのまま微分×中身の微分、です。

f(x) = log(1+2x)
f'(x) = (1+2x)'×(1+2x)^(-1) = 2(1+2x)^(-1)
f''(x) = 2^2×(-1)×(1+2x)^(-2) = -4(1+2x)^(-2)
f''' (x) = 2^3×(-1)×(-2)×(1+2x)^(-3)
f''''(x) = 2^4×(-1)×(-2)×(-3)×(1+2x)^(-4)

f(n)(x) = (-1)^(n-1)×2^n×(n-1)!×(1+2x)^(-n)
= -(-2)^n・(n-1)!・(1+2x)^(-n)

ではないですかね。

お礼

ありがとうございます！！