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図形の証明なのですが

「正方形ABCDで、線分ADに対してAおよびDから正方形内にそれぞれ15°の直線を引き 、たがいの交点をPとする。 このとき三角形PBCが正3角形であることを、証明せよ。」 _________________________________________________________________________________________________________________ (1)正方形ABCDに正三角形ADRをくっつける(ADは共有) AB=AD=ARより三角形ABRは二等辺三角形。角ABR=角ARB・・・・・・ (2)線分ABに対してAおよびBから正方形内にそれぞれ15°の直線 を引き、たがいの交点をSとする。 (中略) DPSBCは正12角形の1/4になるので, 三角形PBCが正3角形 (1)(2)は前回ここで良回答をいただいたきました。 これ以外で三角関数を使わない証明があれば教えてください。

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質問者が選んだベストアンサー

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  • 回答No.5
  • ferien
  • ベストアンサー率64% (697/1085)

No.2,No.3,No.4です。再回答します。 APを延長してDCとの交点をE,DPを延長してABとの交点をFとする。 仮定より、角PAD=角PDA=15度 ……(1)だから、 △PADは二等辺三角形  よって、PA=PD ……(2) (1)より、角PAF=角PDE=90度-15=75度 ……(3) △ABPと△DCPとで、 (2)より、PA=PD …(ア) 正方形の辺だから、AB=DC …(イ) (3)より、角BAP=角CDP=75度 …(ウ) (ア)(イ)(ウ)より、2辺とその挟む角が等しいから、 △ABP≡△DCP よって、PB=PC ……(6)だから、 △PBCは二等辺三角形 △PBDについて、各辺の垂直二等分線を引くと、交点(外心)は点Cと一致する。 だから、点Cを中心として、B,P,Dを通る外接円が描けることになる。 よって、BC=PC=DC (6)より、PB=PC=BCだから、 △PBCは正三角形である。 結局、角を使って証明するのは諦めました。 何かあったらお願いします。

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質問者からのお礼

なるほど。Cを中心として円を描くわけですね。 お手数をおかけしました。 よくわかりました、ありがとうございました。

その他の回答 (4)

  • 回答No.4
  • ferien
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No.2,No.3です。度々済みません。間違いを見つけました。 角について説明している部分の12行目で、 説明もなしで角PRC=90度としているのですが、このようにすると 正三角形であることを前提に証明していることになってしまうので、 No.2の回答は取り下げたいと思います。 角についての証明が難しいです。できるかどうか分かりませんがもう少し考えてみます。 読んで頂いているところ申し訳ないですが、よろしくお願いします。 (何とかなりそうであると思ったら、考えてみて下さい。)

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  • 回答No.3
  • ferien
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済みません。必要のない証明記述の削除をお願いします。 >AB平行DCより、 >角PAF=角PED=75度 ……(4) >角PFA=角PDE=75度 ……(5) の削除をお願いします。どこにも使われていない条件です。 それによって、以下の記述も △ABPと△DCPとで、 (2)より、PA=PD …(ア) 正方形の辺だから、AB=DC …(イ) (3)より、角BAP=角CDP=75度 …(ウ) (ア)(イ)(ウ)より、2辺とその挟む角が等しいから、 △ABP≡△DCP のようにして下さい。

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  • 回答No.2
  • ferien
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証明が少し長いですが、図を描いて考えてみて下さい。 「正方形ABCDで、線分ADに対してAおよびDから正方形内にそれぞれ15°の直線を引き 、たがいの交点をPとする。 >このとき三角形PBCが正3角形であることを、証明せよ。」 APを延長してDCとの交点をE,DPを延長してABとの交点をFとする。 仮定より、角PAD=角PDA=15度 ……(1)だから、 △PADは二等辺三角形  よって、PA=PD ……(2) (1)より、角PAF=角PDE=90度-15=75度 ……(3) AB平行DCより、 角PAF=角PED=75度 ……(4) 角PFA=角PDE=75度 ……(5) △ABPと△DCPとで、 (2)より、PA=PD …(ア) 正方形の辺だから、AB=DC …(イ) (3)(4)(5)より、角BAP=角CDP=75度 …(ウ) (ア)(イ)(ウ)より、2辺とその挟む角が等しいから、 △ABP≡△DCP よって、PB=PC ……(6) (6)より、△PBCは二等辺三角形 よって、角PBC=角PCB……(7) PからBCに垂線を引き交点をHとする。 PHは角BPCの二等分線だから、 角BPH=角CPH=●と表す。 だから、角BPC=●● (角にしるしを付けて下さい) AB平行PHより、角ABP=角BPH=● DC平行PHより、角DCP=角CPH=● 角PBCの二等分線を引きPCとの交点をQ, 角PCBの二等分線を引きPBとの交点をRとする。 (7)より、角PBC=角PCB=△△ 角PBQ=角QBC=△ 角PCR=角RCB=△ と表す。 △PRCで、角PRC=90度だから、残りの角は、 ●+●+△=90度 角ABCで、●+△+△=90度 両辺足し合わせて、 3●+3△=180度だから、●+△=60度 ●=(●+●+△)-(●+△)=90-60=30度 (△=60-●=60-30=30度) 角BPC=●●=30×2=60度 よって、△PBCは正三角形である。 間違いや、何かあったらお願いします。

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質問者からの補足

ゆっくり読んで考えますので、お礼は今しばらくお待ちください。

  • 回答No.1
  • ji6
  • ベストアンサー率40% (2/5)

線分ADに対してAおよびDから正方形内にそれぞれ15°の直線を引き たがいの交点をPとする。∠PAD=∠PDA=15° 次に、線分BCに対してBおよびCから正方形内にそれぞれ60°の直線を引き たがいの交点をQとする。このとき△QBCは正三角形であるから、  AB=BC=QB より、△ABQは二等辺三角形  ∠ABQ=90°-60°=30°より、∠BAQ=75° よって、∠QAD=15° 同様にして、∠QDA=15° △ADPと△ADQにおいて、  AD共通、∠PAD=∠QAD=15°、∠PDA=∠QDA=15° よって、△ADP≡△ADQ 辺ADは共通であり、点Pと点Qは、どちらも正方形の内部にあるので 点Pと点Qは同一の点である。 したがって、△PBCも正三角形である。

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質問者からのお礼

PであるQをとるというのは気が付きませんでした。 ありがとうございました。

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