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平方完成、部分分数分解はあってますでしょうか?
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(1)で、虚数を使っちゃ絶対ダメ、というのではありませんが、 微積関係の話なら、実数範囲で考えられれば、そうした方が、 一般論としても、扱いやすいですし、 この問題だと、うまく、(2)を使って(3)へ、に繋がりませんよね。 なので、(1)は、 x^4 + 1 = (x^4 + 2x^2 + 1) - 2x^2 = (x^2 + 1)^2 - ((√2)x)^2 = (x^2 + 1 + (√2)x)(x^2 + 1 - (√2)x) という因数分解を使って((2)との関係が見えてきましたよね^^) 与式 = {1/(2√2)}{1/(x^2 + 1 - (√2)x) - 1/(x^2 + 1 + (√2)x)} と、素因数分解をします。 (2) の平方完成はその通りで、 (3) では、(1)(2)を使って、2つ、 1/((何とか)^2+1/2) の形の関数の積分をすればいい。 大学生なら、1/(x^2+a^2) 形の不定積分の公式を 知ってて、覚えていれば、話は早いですが、 知らなかったり、まさかとは思いますが、高校生だったりすれば、 (何とか) = (1/√2)tanθという、よくあるパターンの 置換積分で、計算は結構面倒ですが、何とかなります。
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- info22_
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(1)x/(1+x^4) =x/((x^2+1)^2-2x^2) =x/((x^2+1-√2 x)(x^2+1+√2 x)) =(1/(2√2))(1/(x^2+1-√2 x) - 1/(x^2+1+√2 x)) =(√2/4)/(x^2+1-√2 x) - (√2/4)/(x^2+1+√2 x) (2) x^2 +1∓√2x =(x∓√2/2)^2 +(1/2) なので合っています。 (3)(2)を利用して、x∓(√2/2)=t/√2で変数変換して ∫x/(1+x^4)dx=(√2/4){∫2/(t^2 +1)dt-∫2/(t'^2 +1)dt' 積分公式:∫du/(1+u^2)=tan^-1(u)+C を用いて =(√2/2){tan^-1(t)-tan^-1(t')}+C =(1/√2){tan^-1(√2x-1)-tan^-1(√2x+1)}+C
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