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三角関数の周期 sin^n(x)、cos^n(x)
教えていただきたいことがあります。 タイトルにも書きましたが、たとえばsin^4(ax)、cos^6(ax)の周期はどのように 求めるのでしょうか。 また、一般化したsin^n(ax)、cos^n(ax)の周期も同様に求めるにはどのようにするの でしょうか。 ネットなどで調べてみたのですが、私の分かる範囲では見つかりませんでした。 よろしくお願いします。
- yassanmama
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テキストだけで書く場合には、sin^n(x)より、(sinx)^n, (sin(x))^n のような書き方の方が誤解されにくいかと思います。 sin(x)の周期は、2π、 a>0のとき、sin(ax)の周期は、2π/a なのは、大丈夫なんですよね。 |sin(x)| の周期は、y=sin(x) のx軸より上の部分だけが 繰り返し出てくることになるので、周期がπ、 というのも、大丈夫ですか? すると、(sin(x))^2は、2乗して、曲線が多少尖った感じになりますが、 繰り返しパターンは、|sin(x)|と同じで、周期はπ、 (sin(x))^3は、やはり、曲線がさらに尖った感じになりますが、 sin(x)と正負のパターンは同じで、繰り返しパターンも同じ、 なので、周期は2π、ということに、 これを続けていけば、 nが偶数なら、(sin(x))^n の周期はπ、 nが奇数なら、(sin(x))^n の周期は2π、というのが解ります。 (sin(ax))^n は、(sin(x))^n を、y軸を中心に、 横に、ギュッと、1/aに押し縮めたようなようなグラフになるので、 nが偶数なら、(sin(ax))^n の周期はπ/a、 nが奇数なら、(sin(ax))^n の周期は2π/a、 cosの場合も、まったく同様です。
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- info22_
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sin^4(ax)の基本周期(最小の周期) sin^2(ax)=(1-cos(2ax))/2 sin^2(ax)の基本周期はcos(2ax)の基本周期Tになり 2aT=2πより 基本周期T=π/a sin^4(ax)=(1/4)(1-cos(2ax))^2=(1/4)-(1/2)cos(2ax)+(1/4)cos^2(2ax) なのでsin^4(ax)の基本周期はcos(2ax)の基本周期Tになり 2aT=2πより T=π/a cos^6(ax)の基本周期(最小の周期) cos^2(ax)=(1+cos(2ax))/2 cos^2(ax)の基本周期は cos(2ax)の基本周期Tになり 2aT=2πより 基本周期T=π/a cos^6(ax)=(1/8)(1-cos(2ax))^3=(1/8)-(3/8)cos(2ax)+(3/8)cos^2(2ax)+(1/8)cos^3(2ax) cos^6(ax)の基本周期はcos(2ax)の基本周期Tになり 2aT=2πより 基本周期T=π/a sin^n(ax)やcos^n(ax)の基本周期も同様に求めることができます。 (A)nが奇数の場合は n-1=2m(偶数)なので sin^n(ax)やcos^n(ax)の基本周期は sin^n(ax)=sin(ax)sin^(2m)(ax)=sin(ax)(1/2^m)(1-cos(2ax))^m =(1/2^m)sin(ax){1-mcos(2ax)+...} cos^n(ax)=cos(ax)cos^(2m)(ax)=cos(ax)(1/2^m)(1+cos(2ax))^m =(1/2^m)cos(ax){1+mcos(2ax)+...} より,それぞれsin(ax),cos(ax)の基本周期Tになり aT=2πより 基本周期T=2π/a となります。 (B)nが偶数の場合は n=2m(偶数)なので sin^n(ax)やcos^n(ax)の基本周期は sin^n(ax)=sin^(2m)(ax)=(1/2^m)(1-cos(2ax))^m =(1/2^m){1-mcos(2ax)+...} cos^n(ax)=cos^(2m)(ax)=(1/2^m)(1+cos(2ax))^m =(1/2^m){1+mcos(2ax)+...} より,共に cos(2ax)の基本周期Tになり 2aT=2πより 基本周期T=π/a となります。 以上です。
お礼
info22さん ご回答いただきありがとうございました。
- 中村 拓男(@tknakamuri)
- ベストアンサー率35% (674/1896)
nが偶数なら π/a, n が奇数なら 2π/a です。 sin(x)が周期的に変化することと、それと x^n の合成 関数がどのように変化するかを考えれば直ぐに解りますが、 2次元図を書いてくれるようなソフトを使うと 助けになると思います。
お礼
tknakamuriさん ご回答いただきありがとうございました。
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
与えられた関数の基本周期を決定する問題は、 一般には難しく、いつでも使える解法は無いが、 質問の関数なら、比較的簡単に処理できる。 n が偶数の場合と奇数の場合に分けて、 それぞれの場合に関数のグラフの概形を描けば、 各 n に対する周期の予想が立てられるはず。 予想できたら、それを証明すればいい。 f(x+T)=f(x) を示せば、周期であることが言えるし、 基本周期であることは、グラフを援用して それより小さい周期がないことを示せばよい。
お礼
alice_44さん ご回答いただきありがとうございました。
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