自由落下の式は、どのように導かれますか？

質問

自由落下の式

　　　X = (Gt^2)/2

これは実験式と聞いていますが、それは、ある式から導かれるとかないのでしょうか
（例えば、量子力学の式とか・・・・）
なぜ、t^2 なのか、　ｔ＾3　ではないのかとか、不思議に感じています。

宜しくお願いします。

回答No.4

tetsumyi · ベストアンサー

こんな式は考えれば当然の結果として出てきます。
重力中では落ちる速度は１秒間にGだけ速くなるのは実験で確かめられました。
つまり静かに落とせばt秒後には速度はGtです。
最初の速度は０ですから平均の速度はGt/2
これに時間を掛ければ落ちた距離となるから
X=Gt^2/2
高校程度の物理は当たり前のことしか出てきません。

お礼

回答ありがとうございます。

>最初の速度は０ですから平均の速度はGt/2

そう言う考えを導入すると分かりやすいですね。

回答No.3

noname#175206

そのGは普通は小文字でgと書く、地球地表での重力加速度ですね。大文字Gは重力定数と称して、ニュートンの万有引力の式に出て来るものです。以下、お書きのGはgだとして進めます。

　まず、ニュートンの万有引力の式とニュートン第一法則の式から、地球の質量をM、落下する物体の質量をm。物体と地球中心との距離をr、物体の加速度をaとすると、以下のようになります。

　F = GMm/r^2, F = ma, ∴ma = GMm/r^2, ∴a = GM/r^2

　物体の質量に関わらず、加速度が同じであることが出てきました。これらは全て基本的には理論式です。GとMは定数ですが、後から実験・観測で求められました。

　実は、このaが上で述べたgです。しかし、いったんaをきちんと式に展開します。
　時間tの間に落下する距離

　x = at^2/2 = GM*/r^2×t^2/2 ≒ gt^2/2

　GもMも定数です。しかし、rは物体が地球の中心に向かって落下するのですから、変化します。
　もし、距離rが大きく変化するなら（たとえば、地球に宇宙から隕石が落ちて来るとかの場合）、ちゃんとrを変化させながら計算する必要があります。
　しかし、地球の中心までの距離は大きいですので、落下距離がたとえば数キロメートルくらいですと、rは一定と見做して近似計算できます。
　それで、最後の式は≒を使って書いておきました。rの変化が無視できるのでrが一定の定数と見做した、という意味を込めています。

　そういうことで、お示しの式が出てきています。理論から導かれ、理論からは決められない必要な定数は、実験と観測で決めています。それが、g = 9.8m/s^2などだったりします。

　もちろん、空気抵抗を無視すれば、あるいは無視できるくらいの重い物体を使えば、充分な精度で、実際の垂直方向の落下と式からの計算値が一致します。

　なお、この式は初速0での落下、つまり空中で停止させていたものを、静かに離して落下させた場合の、垂直下方方向の式ですね。これに水平方向の初速や、垂直方向の初速を考慮した式もよく使います。

お礼

詳しい説明ありがとうございます。

分かりやすかったです。

回答No.2

麻野 なぎ（@AsanoNagi）

その式は実験式と言えば、実験式ではありますが。

実は、もともとはその形で導かれたわけではありません。
ニュートンの運動方程式というものがもとになっています。

これは、
・物体に力を加えると加速する
・加速度は力に比例して、質量に反比例する
という運動の第２法則を、微分方程式というもので表現したものです。

自由落下の場合、かかる力は、質量×重力加速度ですから、

加速度＝かかる力／質量　となりますが、（地球上の）自由落下の場合、

かかる力 ＝ 重力加速度×質量
なので、

加速度＝力／質量＝（質量×重力加速度）／質量＝重力加速度

となります。
つまり、加速度一定の運動になるわけです。

言い換えると、「変位を時間で２階微分したものはＧという定数」という式になります。
これを解いたのが、ご質問にある式です。

この運動方程式は、かなり強力で、たとえば、振り子の運動だとか、太陽の周りを回る星々の運動だとか、そういうものも、ひとつの方程式で表現できます。

お礼

詳しい説明ありがとうございます。

>この運動方程式は、かなり強力で、たとえば、振り子の運動だとか、太陽の周りを回る星々の運動だとか、そういうものも、ひとつの方程式で表現できます。

確かにそうですね。

回答No.1

hitokotonusi

実験によりガリレオが得た結果は，自由落下の場合の加速度は定数というものです。
(実際にガリレオがやったのは自由落下ではなく斜面を転がる物体でしたが。)
加速度を時間で積分すると速度に，さらに速度を積分すると落下距離になるので，
結果，定数を二回時間で積分することになり時間の二乗が出てきます。

お礼

積分を利用するという方法は、分かりやすいですね。
ありがとうございます。