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数式の変形に関して
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- stomachman
- ベストアンサー率57% (1014/1775)
> したがって 1/x=1/b1+1/b2であるとき > といった仮定等はありません なるほど、そうですか。でも、その仮定がないとなると、 1/x=1/b1+1/b2 になるとは限らないのは、既に回答されている通り。 ということはですよ、もしかすると以下のような話なのではないでしょうか: 「 測定によってデータ(a1, b1)と (a2, b2)が得られた。理論上a,bの比はどちらも同じ、すなわちa1/b1=a2/b2になる筈のものである。しかし測定誤差によってデータが微妙に狂っているために、得られたデータはa1/b1≒a2/b2となっている。そこで、これら2組のデータを使って、a,bの比(y/x)をより正確に推定したい。」 もしそういう話であるならば、 1/x=1/b1+1/b2 1/y=1/a1+1/a2 とやるのは全く自然です。仮に測定誤差がなくてa1/b1=a2/b2が成り立つのなら、確かに a1/b1=a2/b2=y/x となっている。この場合、yはa1,a2の、xはb1, b2のそれぞれ調和平均を取ることで計算した訳です。(なぜ算術平均ではなく調和平均を使うのかというと、それにはおそらく「理論上」の理由があるのだろうと思われます。)
- stomachman
- ベストアンサー率57% (1014/1775)
おそらく問題はこうじゃないですかね: 「x,y≠0かつ a1/b1=a2/b2=y/x かつ 1/x=1/b1+1/b2であるとき、1/y=1/a1+1/a2 であることを示せ」 だとすれば、たとえば b1 = a1(x/y) b2 = a2(x/y) を代入して 1/x=1/b1+1/b2 からb1, b2を消去すればいい。やってみると 1/x=(y/x)/a1+(y/x)/a2 =(y/x)(1/a1+1/a2) だから 1/y = 1/a1+1/a2 > y/x={(a1+a2)(b1*b2)}/{(a1*a2)(b1+b2)} これも同じくb1, b2を消去すればいい。 「公式を目にした事は」もナニも、こんなの公式の内に入らない。「憶えるもの」なんかじゃないです。
- gtmrk
- ベストアンサー率85% (40/47)
こんばんは。 No.1 の方が反例を示して下さったとおり、 (1) a1/b1 = a2/b2 = y/x ( = k ) という式は (2) 1/x = 1/b1 + 1/b2 かつ 1/y = 1/a1 + 1/a2 であるための十分条件にはなり得ませんね。 『(1)⇒(2)』は成り立たないということです。 一応(1)から(2)をなんとなく導くことは出来ます。 比例式(1)が表す値が k という定数で表せるとすると、 この式は以下のように (3) 1/b1 = k/a1 (4) 1/b2 = k/a2 (5) 1/x = k/y という3つの式に分解でき、 ここで (2) + (3) - (4) という式を作ると (6) 1/b1 + 1/b2 - 1/x = k ( 1/a1 + 1/a2 - 1/y ) となるので、この式が k について恒等的に成り立つならば、 (2-1) 1/b1 + 1/b2 - 1/x = 0 ⇔ 1/x = 1/b1 + 1/b2 (2-2) 1/a1 + 1/a2 - 1/y = 0 ⇔ 1/y = 1/a1 + 1/a2 でなければならない、という感じです。 ただしここから言えるのは『(1)⇒(6)』および『(2)⇒(6)』だけです。 『(6)⇒(1)』は成り立ちませんから、 (反例: x = 2, b1 = 3, b2 = 6, y = 4, a1 = 12, a2 = 6 など) 『(2)⇒(1)』も成り立ちません。 結局、(1)は(2)であるための必要条件でも十分条件でもないわけです。 というわけでこの変形は相互に成り立ちません。 命題の解釈を間違っているか、 条件をいくつか見落としている可能性が高そうです。
お礼
お答えいただき ありがとうございます. No.1 さんにもご指摘頂いたように 条件の見落としがある可能性があるため 確認してみようと思います.
補足
b1/a1=b2/a2=y/x であるときに, y/x={(a1+a2)(b1*b2)}/{(a1*a2)(b1+b2)} になるらしいのですが,上式のような公式を目にした事はありませんでしょうか. ご存知でしたら お教え頂きますと幸いです.
- Cupper-2
- ベストアンサー率29% (1342/4565)
いやいやいやいやいや... それ、明らかに違うでしょ。 一つ目の式に適当な数値を入れてみましょうか。 1/2 = 2/4 = 4/8 これを二つ目と三つ目の式にそれぞれ当てはめると 1/8=1/2+1/4 1/4=1/1+1/2 …ありえねぇ…絶対にありえねぇ… これはどう考えても、二つ目と三つ目の式が間違えているとしか考えられないんだな。 それか、質問文に書かれていない条件が他にあるのだろうと思います。
お礼
お答えいただき ありがとうございます. 確かにそうですよね. 私も質問した直後に簡単な数を代入したところ 式が成立しなかったため, さらに疑問が深まりました. 条件の見落とし等 確認してみます.
補足
b1/a1=b2/a2=y/x であるときに, y/x={(a1+a2)(b1*b2)}/{(a1*a2)(b1+b2)} になるらしいのですが,上式のような公式を目にした事はありませんでしょうか. ご存知でしたら お教え頂きますと幸いです.
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