名前ビンゴで一回目の当選がでるまでの回数

質問

クリスマスパーティーで、名前ビンゴをする予定です。他の余興との時間の兼ね合いもあり、あまり長くビンゴに時間をかけたくないので、当選は一位だけにして、あとは一位の方のカードにお名前が書かれている方々にプレゼントを差し上げようと思っています。
あっさり終わらせたいのですが、参加者100人で3x3の9マスにした場合、何回目ぐらいの抽選で、当選がでますか？計算が不得意なので、教えて下さい。
宜しくお願い致します。

回答No.1

stomachman

「名前ビンゴ」ってのは何だか分かりませんけれども、おそらく、参加者100名の名前を3x3のマス目にランダムに入れたカードを100枚配るということではないかと。ならば、全員に番号1～100を割り当てて、名前の代わりに1～100の数を書いたカードを使っても同じことです。で、タテ・ヨコ・ナナメのどれかが揃えばビンゴ。そういうゲームだと仮定して、計算してみました。

ランダムに選んだ１枚のカードの当選確率が1/100を越えるのは12回目の抽選です。なので100枚あれば、12回目の抽選で1枚ぐらいは当たりそう、ということです。
しかし12回目の抽選をしてもまだ誰も当たらない確率が1/e≒34%ぐらいあります。
17回抽選しても誰も当たらない確率は7%、18回で2%、19回で1%。
なので、よほど運が悪くてもせいぜい20回ぐらいの抽選までには当たりが出るでしょう。

　ご参考までに、計算式は以下の通り：
　可能なカードの種類は T=100 × 99 × … × 92 、69京通りあります。そのうちから、ランダムに選んだ１枚のカードがN回目の抽選までに当選する確率p(N)は
p(N) = (1/T) ΣA[N,m] (Σはm=0～min(9,N)の総和)
A[N,m] = (NCm)((K-N)C(9-m)) B[m] 9!/ (9Cm))
ここに、aCb = a!/(b!(a-b)!), ただし a<0またはb<0 のときはaCb=0
また、B[m]はカード上のm個の数が抽選で選ばれている時に、それらm個でビンゴができる並び方のパターンの数であって、
B[9] = 1
B[8] = 9
B[7] = 36
B[6] = 82
B[5] = 98
B[4] = 48
B[3] = 8
B[2]=B[1]=B[0]=0

お礼

早速の回答ありがとうございましたm(_ _)m
勉強になりました。とても助かりました。ありがとうございます。