高校数学の問題で質問です（２）

質問

（問）容器に１０％の食塩水が５０ｇ入っている。この容器から食塩水を１０ｇ取り除き、５％の食塩水２０ｇを容器に入れてよくかき混ぜる、という操作を繰り返し行う。ｎ回目の操作後に、食塩水に含まれる食塩の質量をａ＜ｎ＞ｇ　とする。数列{　ａ＜ｎ＞　}　の一般項を求めよ。ただし、ｎは自然数とする。
　　以上、よろしくお願いします。

回答No.2

DJ-Potato

#1です。
初期値a<0>の5gを足すのを忘れてました。
眠い時間の回答はこのザマですね。

a<n> = 5 + n(n-1)/2(n+4)

(n+1 + 4)a<n+1> = (n+4)a<n> + n + 5

(n+4)a<n> = b<n>と置くと
b<n+1> = b<n> + n + 5
b<n+1> - b<n> = n + 5
Σ[k=0-n]{b<k+1> - b<k>} = Σｋ + Σ5
b<n+1> - b<0> = 1/2・n(n+1) + 5(n+1)
b<n+1> = b<0> + 1/2・(n+1)・(n + 10)
b<n> = 20 + 1/2・n・(ｎ+9)
= 1/2・{n^2 + 9n + 40}
= 1/2・{n^2 - n + 10n + 40}
= 1/2・{n(n-1) + 10(n + 4)}
= 1/2・n・(n-1) + 5(n+4) = (n+4)a<n>
a<n> = n(n-1)/2(n+4) + 5

回答No.1

DJ-Potato

a<n> = n(n-1)/2(n+4)

10％の食塩水50gなので、
水 = 45g　塩 = 5g

追加するのは5%食塩水20gなので、
水 = 19g　塩 = 1g

水n+1 = 水n - 10×水n/(水n + 塩n) + 19
塩n+1 = 塩n - 10×塩n/(水n + 塩n) + 1
水n + 塩n = {50,60,70,・・・,10n + 50,・・・}　　[n = 0,1,2,・・・]

a<n+1> = a<n> - 10・a<n>/(10n + 50) + 1
= (10n + 50 - 10)a<n>/(10n + 50) + 1
= (n + 4)a<n>/(n + 5) + 1
(n+5)a<n+1> = (n+4)a<n> + n + 5
(n+1 + 4)a<n+1> = (n+4)a<n> + n + 5

とかなんとか解くんでしょうか？