数列の一般項の問題です

質問

容器に１０％食塩水５０ｇがあります。

容器から食塩水１０ｇをとりのぞき、
５％食塩水２０ｇを入れかきまぜる。

この動作を繰り返す場合、ｎ回目の操作後の食塩をan ｇ(グラム）とすると、
数列anの一般項を求めよ。

どうも、数列は苦手です。。。
よろしくおねがいします。

回答No.2

rnakamra · ベストアンサー

#1の補足内容について
{a(n)}の漸化式は
a(n+1)=(n+4)/(n+5)*a(n)+1
ですね。初期の状態は1回も操作をしていない場合になるためa(0)になります。

この漸化式は次のように考えればよいでしょう。
まず、両辺を(n+5)倍する。
(n+5)a(n+1)=(n+4)a(n)+n+5

b(n)=(n+4)a(n)とおく。b(n+1)=(n+1+4)a(n+1)=(n+5)a(n+1)　となりますので元の漸化式は
b(n+1)=b(n)+n+5
となります。

b(n)を左辺に移項すると
b(n+1)-b(n)=n+5
この左辺は{b(n)}の階差数列であることが分かれば{b(n)}の一般項を求めることができると思います。

お礼

ありがとうございます！
初項間違ってました！
無事解くことができました。

回答No.1

under12

数列は関係ない。どちらかと言うと、日本語の読解力に難があるかと思われます。

＞＞容器に１０％食塩水５０ｇがあります。
容器から食塩水１０ｇをとりのぞき、
５％食塩水２０ｇを入れかきまぜる。

これをまずは数式にしましょう。ここだけならば、小学生レベルです。

補足

回答ありがとうございます。

そこまでなら、式にできます。
a(n+1) = {(3+n)/(4+n)}*a(n) + 1

ですよね。

右辺のa(n)の係数にnがつくので、
漸化式の一般項の求め方では等比数列にできなくて、
解き方がわかりません。

よろしくおねがいします！！